Версия для печати
Убрать все задачи

---

Даны пятьдесят различных натуральных чисел, двадцать пять из которых не превосходят 50, а остальные больше 50, но не превосходят 100. При этом никакие два из них не отличаются ровно на 50. Найдите сумму этих чисел.

   Решение

---

Докажите, что уравнение  x! y! = z!  имеет бесконечно много решений в натуральных числах, больших 1.

   Решение

---

Через начало координат проведены прямые (включая оси координат), которые делят координатную плоскость на углы в 1°.
Найдите сумму абсцисс точек пересечения этих прямых с прямой  y = 100 – x.

   Решение

---

Дана окружность с центром в начале координат.
Докажите, что найдётся окружность меньшего радиуса, на которой лежит не меньше точек с целыми координатами.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65932

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Точка Лемуана ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Разрежьте неравносторонний треугольник на четыре подобных треугольника, среди которых не все одинаковы.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65933

Тема:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Квадрат разрезали на n прямоугольников размером  a_i×b_i,  i = 1, ..., n.
При каком наименьшем n в наборе  {a₁, b₁, ..., a_n, b_n}  все числа могут оказаться различными?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65936

Темы:   [ Метод координат на плоскости ] [ Поворотная гомотетия (прочее) ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Дана окружность с центром в начале координат.
Докажите, что найдётся окружность меньшего радиуса, на которой лежит не меньше точек с целыми координатами.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65942

Темы:   [ Правильный тетраэдр ] [ Развертка помогает решить задачу ] [ Площадь круга, сектора и сегмента ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Планета "Тетраинкогнито", покрытая "океаном", имеет форму правильного тетраэдра с ребром 900 км.
Какую площадь океана накроет "цунами" через 2 часа после тетратрясения с эпицентром в
  а) центре грани,
  б) середине ребра,
если скорость распространения цунами 300 км/час?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65943

Темы:   [ Тетраэдр (прочее) ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Параллельность прямых и плоскостей ] [ Теорема о трех перпендикулярах ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

К граням тетраэдра восстановлены перпендикуляры в их точках пересечения медиан.
Докажите, что проекции трёх перпендикуляров на четвёртую грань пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями