ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при поддержке
ЦПМ
Все источники >> Олимпиады и турниры >> Всероссийская олимпиада по математике >> 2016-2017 >> Региональный этап
Классы:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 4 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите, что сумма $\frac {1}{\sqrt {1} + \sqrt {2}} + \frac {1}{\sqrt {2} + \sqrt {3}} + \dots + \frac {1}{\sqrt {99} + \sqrt {100}}$ является целым числом.

Вниз   Решение

Окружность пересекает стороны BC, CA, AB треугольника ABC в точках A1 и A2, B1 и B2, C1 и C2 соответственно. Докажите, что если перпендикуляры к сторонам треугольника, проведенные через точки A1, B1 и C1, пересекаются в одной точке, то и перпендикуляры к сторонам, проведенные через A2, B2 и C2, тоже пересекаются в одной точке.

ВверхВниз   Решение

Окружности S1 и S2 радиуса 1 касаются в точке A; центр O окружности S радиуса 2 принадлежит S1. Окружность S1 касается S в точке B. Докажите, что прямая AB проходит через точку пересечения окружностей S2 и S.

ВверхВниз   Решение

Автор: Подлипский О.К.

Олег нарисовал пустую таблицу 50×50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал произведение чисел, написанных около её строки и её столбца ("таблица умножения"). Какое наибольшее количество произведений в этой таблице могли оказаться рациональными числами?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

  с решениями  

Задача 66021  (#10.4)

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Раскраски ]
[ Арифметическая прогрессия ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Жуков Г.

Учитель собирается дать детям задачу следующего вида. Он сообщит им, что он задумал многочлен P(x) степени 2017 с целыми коэффициентами, старший коэффициент которого равен 1. Затем он сообщит им k целых чисел n1, n2, ..., nk и отдельно сообщит значение выражения  P(n1)P(n2)...P(nk).  По этим данным дети должны найти многочлен, который мог бы задумать учитель. При каком наименьшем k учитель сможет составить задачу такого вида так, чтобы многочлен, найденный детьми, обязательно совпал бы с задуманным?

Прислать комментарий     Решение

Задача 66025  (#11.4)

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Три окружности пересекаются в одной точке ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Акопян А.В.

Равносторонний треугольник ABC вписан в окружность Ω и описан вокруг окружности ω. На сторонах AC и AB выбраны точки P и Q соответственно так, что отрезок PQ проходит через центр O треугольника ABC. Окружности Гb и Гc построены на отрезках BP и CQ как на диаметрах.
Докажите, что окружности Гb и Гc пересекаются в двух точках, одна из которых лежит на Ω, а другая – на ω.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66016  (#9.5)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Подлипский О.К.

Олег нарисовал пустую таблицу 50×50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал сумму чисел, написанных около её строки и её столбца ("таблица сложения"). Какое наибольшее количество сумм в этой таблице могли оказаться рациональными числами?

Прислать комментарий     Решение

Задача 66022  (#10.5)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Подлипский О.К.

Олег нарисовал пустую таблицу 50×50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по ненулевому числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал произведение чисел, написанных около её строки и её столбца ("таблица умножения"). Какое наибольшее количество произведений в этой таблице могли оказаться рациональными числами?

Прислать комментарий     Решение

Задача 66026  (#11.5)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Подлипский О.К.

Олег нарисовал пустую таблицу 50×50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал произведение чисел, написанных около её строки и её столбца ("таблица умножения"). Какое наибольшее количество произведений в этой таблице могли оказаться рациональными числами?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам