Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
>>
XI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2015 г.)
-
Заочный тур
(24 задачи)
8 класс
(8 задач)
9 класс
(8 задач)
10 класс
(8 задач)
Фильтр
Выбрано 3 задачи Убрать все задачи
На отрезке [0, 2002] отмечены его концы и n – 1 > 0 целых точек так, что длины отрезков, на которые разбился отрезок [0, 2002], взаимно просты в совокупности. Разрешается разделить любой отрезок с отмеченными концами на n равных частей и отметить точки деления, если они все целые. (Точку можно отметить второй раз, при этом она остаётся отмеченной.) Можно ли, повторив несколько раз эту операцию, отметить все целые точки на отрезке?
РешениеКакое из чисел больше: (100!)! или 99!100!·100!99!?
РешениеВ тетраэдр ABCD вписана сфера с центром O, касающаяся его граней BCD, ACD, ABD и ABC в точках A1, B1, C1 и D1 соответственно.
а) Пусть Pa – такая точка, что точки, симметричные ей относительно прямых OB, OC и OD, лежат в плоскости BCD. Точки Pb, Pc и Pd определяются аналогично. Докажите, что прямые A1Pa, B1Pb, C1Pc и D1Pd пересекаются в некоторой точке P.
б) Пусть I – центр сферы, вписанной в тетраэдр A1B1C1D1; A2 – точка пересечения прямой A1I с плоскостью B1C1D1; B2, C2, D2 определены аналогично. Докажите, что P лежит внутри тетраэдра A2B2C2D2.
Решение
Задачи
Задача 66248 (#21) |
|
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ω с центром O, M1 и M2 – середины сторон AB и CD соответственно; Ω – описанная окружность треугольника OM1M2, X1 и X2 – точки пересечения ω с Ω, а Y1 и Y2 – вторые точки пересечения описанных окружностей ω1 и ω2 треугольников CDM1 и ABM2 соответственно с Ω. Докажите, что X1X2 || Y1Y2.
|
|
Решение |
Задача 66249 (#22) |
|
|
Грани икосаэдра окрасили в пять цветов (среди которых есть красный и синий) так, что две грани, окрашенные в один цвет, не имеют общих точек, даже вершин. Докажите, что для любой точки внутри икосаэдра сумма расстояний от нее до красных граней равна сумме расстояний до синих граней.
|
|
|
Решение |
Задача 66250 (#23) |
|
|
Дан тетраэдр ABCD. В грани ABC и ABD вписаны окружности с центрами O1, O2, касающиеся ребра AB в точках T1, T2. Плоскость πAB проходит через середину отрезка T1T2 и перпендикулярна O1O2. Аналогично определяются плоскости πAC, πBC, πAD, πBD, πCD. Докажите, что все эти шесть плоскостей проходят через одну точку.
|
|
|
Решение |
Задача 66251 (#24) |
|
В тетраэдр ABCD вписана сфера с центром O, касающаяся его граней BCD, ACD, ABD и ABC в точках A1, B1, C1 и D1 соответственно.
а) Пусть Pa – такая точка, что точки, симметричные ей относительно прямых OB, OC и OD, лежат в плоскости BCD. Точки Pb, Pc и Pd определяются аналогично. Докажите, что прямые A1Pa, B1Pb, C1Pc и D1Pd пересекаются в некоторой точке P.
б) Пусть I – центр сферы, вписанной в тетраэдр A1B1C1D1; A2 – точка пересечения прямой A1I с плоскостью B1C1D1; B2, C2, D2 определены аналогично. Докажите, что P лежит внутри тетраэдра A2B2C2D2.
|
|
|
Решение |
Задача 65360 (#8.1) |
|
|
Пусть ABCD – трапеция, в которой углы A и B прямые,
AB = AD, CD = BC + AD, BC < AD.
Докажите, что угол ADC в два раза больше угла ABE, где E – середина AD.
|
|
|
Решение |
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 48]
