Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан квадрат $ABCD$ с центром $O$. Из точки $P$, лежащей на меньшей дуге $CD$ описанной около квадрата окружности, проведены касательные к его вписанной окружности, пересекающие сторону $CD$ в точках $M$ и $N$. Прямые $PM$ и $PN$ пересекают отрезки $BC$ и $AD$ соответственно в точках $Q$ и $R$. Докажите, что медиана треугольника $OMN$ из вершины $O$ перпендикулярна отрезку $QR$ и равна его половине.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66937  (#1 [8 кл])

Тема:   [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Прямая проходящая через середину его высоты $CH$ и вершину $A$ пересекает $CB$ в точке $K$. Пусть $L$ – середина $BC$, а $T$ – точка на отрезке $AB$ такая, что $\angle ATK=\angle LTB$. Известно, что $BC=1$. Найдите периметр треугольника $KTL$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66938  (#2 [8 кл])

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Cерединный перпендикуляр к стороне $AC$ треугольника $ABC$ пересекает прямые $BC$, $AB$ в точках $A_{1}$ и $C_{1}$ соответственно. Точки $O$, $O_{1}$ – центры описанных окружностей треугольников $ABC$ и $A_{1}BC_{1}$ соответственно. Докажите, что $C_{1}O_1\perp AO$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66939  (#3 [8 кл])

Темы:   [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Высоты $AA_1$, $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$; $B_0$ – середина стороны $AC$. Прямая, проходящая через вершину $B$ параллельно $AC$, пересекает прямые $B_0A_1$, $B_0C_1$ в точках $A'$, $C'$ соответственно. Докажите, что прямые $AA'$, $CC'$, $BH$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66940  (#4 [8 кл])

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Дан квадрат $ABCD$ с центром $O$. Из точки $P$, лежащей на меньшей дуге $CD$ описанной около квадрата окружности, проведены касательные к его вписанной окружности, пересекающие сторону $CD$ в точках $M$ и $N$. Прямые $PM$ и $PN$ пересекают отрезки $BC$ и $AD$ соответственно в точках $Q$ и $R$. Докажите, что медиана треугольника $OMN$ из вершины $O$ перпендикулярна отрезку $QR$ и равна его половине.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66941  (#5 [8-9 кл])

Темы:   [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

На плоскости отмечено пять точек. Найдите наибольшее возможное число подобных треугольников с вершинами в этих точках.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями