Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 8, а высота равна 3. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через одну из сторон основания и середину противоположного бокового ребра.

   Решение

Радиус окружности равен 25; две параллельные хорды равны 14 и 40. Найдите расстояние между ними.

   Решение

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a , боковая грань образует с плоскостью основания угол 60^o . Найдите радиус описанной сферы.

   Решение

Шестизначное число делится на 37 и имеет хотя бы две различные цифры. Его первая и четвёртая цифры – не нули.
Докажите, что, переставив цифры в данном числе, можно получить другое число, тоже кратное 37 и не начинающееся с нуля.

   Решение

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a , а расстояние между противоположными рёбрами равно . Найдите радиус описанной сферы.

   Решение

На сторонах AB, BC, CD и DA четырёхугольника ABCD отмечены соответственно точки M, N, P и Q так, что  AM = CP,  BN = DQ,  BM = DP,  NC = QA.  Докажите, что ABCD и MNPQ – параллелограммы.

   Решение

а) Каждые две из шести ЭВМ соединены своим проводом. Укажите, как раскрасить каждый из этих проводов в один из пяти цветов так, чтобы из каждой ЭВМ выходило пять проводов разного цвета.
б) Каждые две из девяти ЭВМ соединены своим проводом. Можно ли раскрасить каждый из этих проводов в один из восьми цветов так, чтобы из каждой ЭВМ выходило восемь проводов разного цвета?

   Решение

30 команд участвуют в розыгрыше первенства по футболу.
Доказать, что в любой момент состязаний имеются две команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое число матчей.

   Решение

Существуют ли  а) 5,  б) 6 простых чисел, образующих арифметическую прогрессию?

   Решение

Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на диагональ, делит прямой угол на две части в отношении  1 : 3.
Найдите угол между этим перпендикуляром и другой диагональю.

   Решение

На сторонах AC и BC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N, причём  MN || AB  и  MN = AM.
Найдите угол BAN, если  ∠B = 45°  и  ∠C = 60°.

   Решение

Числа a и b таковы, что первое уравнение системы

{	cos x=ax+b
	sin x+a=0

имеет ровно два решения. Докажите, что система имеет хотя бы одно решение.

   Решение

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a , а расстояние между диагональю основания и скрещивающимся с ней боковым ребром равно . Найдите радиус описанной сферы.

   Решение

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a , а расстояние между противоположными рёбрами равно . Найдите радиус вписанной сферы.

   Решение

Найдите натуральное число, большее единицы, которое встречается в треугольнике Паскаля
  а) больше трёх раз.
  б) больше четырёх раз.

   Решение

Лабиринт для мышей (см. рисунок) представляет собой квадрат 5 × 5 метров, мыши могут бегать только по дорожкам. На двух перекрёстках положили по одинаковому куску сыра (обозначены крестиками). На другом перекрёстке сидит мышка (обозначена кружочком). Она чует, где сыр, но до обоих кусочков ей нужно пробежать одинаковое расстояние. Поэтому она не знает, какой кусочек выбрать, и задумчиво сидит на месте.

а) Отметьте ещё пять перекрёстков, где могла бы задумчиво сидеть мышка (откуда до обоих кусочков сыра ей нужно пробежать одинаковое расстояние).

б) Придумайте, на каких двух перекрёстках можно положить по куску сыра так, чтобы подходящих для задумчивой мышки перекрёстков оказалось как можно больше. (Доказательство максимальности от участников не требовалось)

   Решение

Страница: << 34 35 36 37 38 39 40 >> [Всего задач: 393]      

Фокусник научил Каштанку лаять столько раз, сколько он ей тайком от публики покажет. Когда Каштанка таким способом правильно ответила, сколько будет дважды два, он спрятал вкусный кекс в чемодан с кодовым замком и сказал:

— Восьмизначный код от чемодана — решение ребуса УЧУЙ = КЕ × КС. Надо заменить одинаковые буквы одинаковыми цифрами, а разные разными так, чтобы получилось верное равенство. Пролай нужное число раз на каждую из восьми букв, и получишь угощение.

Но тут случился конфуз. Каштанка от волнения на каждую букву лаяла на 1 раз больше, чем надо. Конечно, чемодан не открылся. Вдруг раздался детский голос: «Нечестно! Собака правильно решила ребус!» И действительно, если каждую цифру решения, которое имел в виду фокусник, увеличить на 1, получится ещё одно решение ребуса!

Можно ли восстановить: а) какое именно решение имел в виду фокусник; б) чему равнялось число УЧУЙ в этом решении?

Прислать комментарий

Решение

Дан правильный треугольник ABC. На стороне AB отмечена точка K, на стороне BC — точки L и M (L лежит на отрезке BM) так, что KL = KM, BL = 2, AK = 3. Найдите CM.

Прислать комментарий

Решение

Цифры от 0 до 9 зашифрованы буквами A, B, C, D, E, F, G, H, I, J в каком-то порядке. За один вопрос можно узнать зашифрованную запись суммы нескольких различных букв. Например, если спросить «А + B = ?», то в случае, когда A = 9, B = 1, C = 0, ответом будет «А + В = BC». Как можно за пять таких вопросов определить, какие буквы каким цифрам соответствуют?

Прислать комментарий

Решение

Лабиринт для мышей (см. рисунок) представляет собой квадрат 5 × 5 метров, мыши могут бегать только по дорожкам. На двух перекрёстках положили по одинаковому куску сыра (обозначены крестиками). На другом перекрёстке сидит мышка (обозначена кружочком). Она чует, где сыр, но до обоих кусочков ей нужно пробежать одинаковое расстояние. Поэтому она не знает, какой кусочек выбрать, и задумчиво сидит на месте.

а) Отметьте ещё пять перекрёстков, где могла бы задумчиво сидеть мышка (откуда до обоих кусочков сыра ей нужно пробежать одинаковое расстояние).

б) Придумайте, на каких двух перекрёстках можно положить по куску сыра так, чтобы подходящих для задумчивой мышки перекрёстков оказалось как можно больше. (Доказательство максимальности от участников не требовалось)

Прислать комментарий

Решение

Аня называет дату красивой, если все 6 цифр её записи различны. Например, 19.04.23 — красивая дата, а 19.02.23 и 01.06.23 — нет. А сколько всего красивых дат в 2023 году?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 34 35 36 37 38 39 40 >> [Всего задач: 393]