Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]

Задача 67559

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Михайлов И.

В треугольнике $ABC$ $BE$ и $CF$ – высоты, внутренние биссектрисы углов $B$ и $C$ пересекаются в точке $I$, а внешние в точке $J$. Докажите, что $IJ > EF$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67555

Темы:	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Угол между касательной и хордой	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Щербатов Я.

Высоты $AA_1$, $BB_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Точки $A'$, $B'$ симметричны $A$, $B$ относительно $BB_1$, $AA_1$ соответственно. Докажите, что окружности девяти точек треугольников $A'B'C$ и $A'B'H$ касаются.

Прислать комментарий Решение

Задача 67556

Темы:	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]
	[	Точка Микеля	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Нилов Ф.

На плоскости отметили несколько точек и раскрасили их в четыре цвета так, что никакие три разноцветные точки не лежат на одной прямой и на любой окружности, проходящей через точки трех разных цветов, лежит еще ровно одна отмеченная точка, окрашенная в четвертый цвет. Обязательно ли все отмеченные точки лежат на одной окружности?

Прислать комментарий Решение

Задача 67561

Темы:	[	ГМТ - прямая или отрезок	]
	[	Окружность Аполлония	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Авторы: Штейнберг Н., Науменя А.

Дан треугольник $ABC$. На серединном перпендикуляре к отрезку $BC$ вне треугольника выбирается переменная точка $D$. Прямые $BD$ и $AC$ пересекаются в точке $C'$, а прямые $CD$ и $AB$ – в точке $B'$. Пусть $M_a$ – середина $BC$, $M$ – вторая точка пересечения окружностей $(BB'D)$ и $(CC'D)$. Докажите, что центр окружности $DMM_a$ лежит на фиксированной прямой.

Прислать комментарий Решение

Задача 67562

Темы:	[	Четырехугольники (построения)	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Арутюнян С.

Восстановите вписанно-описанный четырехугольник $ABCD$ по центру $I$ вписанной окружности, точке $E$ пересечения касательных к описанной окружности в точках $A$, $C$ и точке $F$ пересечения касательных к описанной окружности в точках $B$, $D$.

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]