Версия для печати
Убрать все задачи

---

$N$ узников сидят в камерах, расположенных по кругу. Сегодня у них есть возможность посовещаться и договориться, а завтра поутру каждый узник бросит игральный кубик. После этого каждый должен сделать предположение — какое число выпало у каждого из 5 узников, сидящих в 5 камерах, следующих по часовой стрелке. Если будет угадано хотя бы одно из выпавших чисел хоть у какого-то узника, всех освободят. Как им действовать, чтобы гарантированно выйти на свободу, если

а) $N=47$;

б) $N=48$?

   Решение

---

На спортивном параде выстроились по кругу 2026 спортсменов, занумерованных подряд числами от 1 до 2026 по часовой стрелке. Каждый спортсмен смотрел на соседа справа или соседа слева. Известно, что было ровно 100 пар соседей, смотрящих друг на друга. Затем каждый спортсмен с чётным номером повернулся и смотрит уже на другого соседа. Сколько теперь имеется пар соседей, смотрящих друг на друга?

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67630  (#1)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Признаки делимости на 3 и 9 ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 3- Классы: 6,7,8,9,10,11

Коля выписал на доске число $111\ldots111$ ($60$ единиц). Оля выбрала какие-то $30$ подряд стоящих единиц и заменила каждую из них на восьмёрку. Докажите, что полученное $60$-значное число делится на $999\ldots999$ ($30$ девяток).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67631  (#2)

Темы:   [ Подсчет двумя способами ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8,9,10,11

Учитель дал 30 ученикам тест из 10 вопросов, в котором на каждый вопрос есть ровно один правильный ответ. Каждый ученик на пять вопросов ответил правильно, а в пяти ошибся. Оказалось, что никакие два неправильных ответа учеников на один и тот же вопрос не совпали. Какое наименьшее число работ необходимо посмотреть, чтобы мы гарантированно смогли выбрать 5 вопросов и указать правильный ответ к каждому из них?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67632  (#3)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Подобные треугольники ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

В прямоугольнике $ABCD$ расположены 7 кругов. Два круга радиуса 2 касаются друг друга и стороны $BC$, причём один из них касается ещё и стороны $AB$, а другой — диагонали $AC$. Остальные 5 кругов имеют радиус 1 и все касаются стороны $AD$, образуя цепочку: соседние круги касаются друг друга, причём один из крайних кругов цепочки касается ещё и стороны $CD$, а другой — диагонали $AC$. Найдите длины сторон прямоугольника $ABCD$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67633  (#4)

Темы:   [ Взвешивания ] [ Теория алгоритмов (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8,9,10,11

В каждой клетке доски $N\times N$ стоит по шкатулке. В одной из них лежит приз. Пустая шкатулка весит 100 граммов, а вес шкатулки с призом равен суммарному весу всех шкатулок в соседних с ней по стороне клетках. У ведущего есть двухчашечные весы без гирь, на каждую чашу помещается сколько угодно шкатулок. За одну попытку можно указать ведущему, какие шкатулки положить на какую чашу (а какие не взвешивать), и он сообщит результат: будут ли весы в равновесии, а если нет — какая чаша перевесит. За какое наименьшее количество попыток можно гарантированно узнать, сколько весит приз, если
а) $N=4$;
б) $N=7$?
(Узнавать, в какой именно шкатулке лежит приз, не требуется.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67634  (#5)

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8,9,10,11

На спортивном параде выстроились по кругу 2026 спортсменов, занумерованных подряд числами от 1 до 2026 по часовой стрелке. Каждый спортсмен смотрел на соседа справа или соседа слева. Известно, что было ровно 100 пар соседей, смотрящих друг на друга. Затем каждый спортсмен с чётным номером повернулся и смотрит уже на другого соседа. Сколько теперь имеется пар соседей, смотрящих друг на друга?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями