На листе бумаги проведено 11 горизонтальных и 11 вертикальных прямых, точки пересечения которых называются узлами, звеном" мы будем называть отрезок прямой, соединяющий два соседних узла одной прямой. Какое наименьшее число звеньев надо стереть, чтобы после этого в каждом узле сходилось не более трёх звеньев?

   Решение

а) Пусть 0 < k < 1. На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC отметим точки E, А и G таким образом, что AE : EB = BF : FC = CG : GA = k. Найдите отношение площади треугольника, образованного прямыми АF, BG и CE, к площади треугольника АВС (см. рис.). б) Разрежьте треугольник шестью прямыми на такие части, из которых можно сложить семь равных треугольников.

   Решение

Катя каждый день ест на завтрак либо кашу, либо яичницу, либо сырники, но никогда не ест два дня подряд одно и то же. В течение двух недель Катя записывала, чем она завтракала. Оказалось, что сырники она ела в два раза чаще, чем кашу. Сколько раз за эти две недели Катя завтракала яичницей?

   Решение

Докажите, что для любого нечётного натурального числа a существует такое натуральное число b, что  2^b – 1  делится на a.

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по центру его описанной окружности и двум прямым, на которых лежат высоты треугольника.

   Решение

На плоскости даны прямая l и две точки P и Q, лежащие по одну сторону от неё. Найдите на прямой l такую точку M, для которой расстояние между основаниями высот треугольника PQM, опущенных на стороны PM и QM, наименьшее.

   Решение

На кольцевой автомобильной дороге стоят несколько одинаковых автомашин. Если бы весь бензин, имеющийся в этих автомашинах, слили в одну, то эта машина смогла бы проехать по всей кольцевой дороге и вернуться на прежнее место. Докажите, что хотя бы одна из этих машин может объехать всё кольцо, забирая по пути бензин у остальных машин.

   Решение

Три прямолинейных коридора одинаковой длины l образуют фигуру, изображённую на рисунке. По ним бегают гангстер и полицейский. Максимальная скорость полицейского в 2 раза больше максимальной скорости гангстера. Полицейский сможет увидеть гангстера, если он окажется от него на расстоянии, не большем r. Доказать, что полицейский всегда может поймать гангстера, если:   а)  r > ^l/₃;   б)   r > ^l/₄;   в)   r > ^l/₅;   г)   r > ^l/₇.

   Решение

На отрезке [0; 1] задана функция f. Эта функция во всех точках неотрицательна, f(1) = 1, наконец, для любых двух неотрицательных чисел x₁ и x₂, сумма которых не превосходит 1, величина f (x₁ + x₂) не превосходит суммы величин f(x₁) и f(x₂).

а) Докажите для любого числа x отрезка [0; 1] неравенство f(x₂) ≤ 2x.

б) Для любого ли числа х отрезка [0; 1] должно быть верно неравенство f(x₂) ≤ 1,9x?

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

Для всякого ли натурального n можно расставить первые n натуральных чисел в таком порядке, чтобы ни для каких двух чисел их полусумма не равнялась ни одному из чисел, расположенных между ними?

Прислать комментарий

Решение

На отрезке [0; 1] задана функция f. Эта функция во всех точках неотрицательна, f(1) = 1, наконец, для любых двух неотрицательных чисел x₁ и x₂, сумма которых не превосходит 1, величина f (x₁ + x₂) не превосходит суммы величин f(x₁) и f(x₂).

а) Докажите для любого числа x отрезка [0; 1] неравенство f(x₂) ≤ 2x.

б) Для любого ли числа х отрезка [0; 1] должно быть верно неравенство f(x₂) ≤ 1,9x?

Прислать комментарий

Решение

Найдите наименьшее число вида   а)  |11^k – 5ⁿ|;   б)  |36^k – 5ⁿ|;   в)  |53^k – 37ⁿ|,  где k и n – натуральные числа.

Прислать комментарий

Решение

а) На плоскости даны n векторов, длина каждого из которых равна 1. Сумма всех n векторов равна нулевому вектору. Докажите, что векторы можно занумеровать так, чтобы при всех k = 1, 2, ..., n выполнялось следующее условие: длина суммы первых k векторов не превышает 3.

б) Докажите аналогичное утверждение для n векторов с суммой 0, длина каждого из которых не превосходит 1.

в) Можно ли заменить число 3 в пункте а) меньшим? Постарайтесь улучшить оценку и в пункте б).

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 4]