Каталог по источникам

Выбрано 9 задач

Не используя калькулятора, определите знак числа (cos(cos 1) – cos 1)(sin(sin 1) – sin 1).

На стороне BC равностороннего треугольника ABC как на диаметре внешним образом построена полуокружность, на которой взяты точки K и L, делящие полуокружность на три равные дуги. Докажите, что прямые AK и AL делят отрезок BC на равные части.

Решение

Построить треугольник ABC по точкам M и N — основаниям высот AM и BN — и прямой, на которой лежит сторона AB.

Решение

Если разделить 2014 на 105, то в частном получится 19 и в остатке тоже 19.
На какие ещё натуральные числа можно разделить 2014, чтобы частное и остаток совпали?

Решение

Автор: Tran Quang Hung

Пусть $P$ – произвольная точка на стороне $BC$ треугольника $ABC$ , $K$ – центр вписанной окружности треугольника $PAB$ , а $F$ – точка касания вписанной окружности треугольника $PAC$ со стороной $BC$ . Точка $G$ на $CK$ такова, что $FG\parallel PK$ . Найдите геометрическое место точек $G$ .

Решение

Пусть M и N – середины сторон AD и BC прямоугольника ABCD. На продолжении отрезка DC за точку D взята точка P, Q – точка пересечения прямых PM и AC. Докажите, что ∠QNM = ∠MNP.

Решение

Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку M(-2;0;3) параллельно плоскости 2x - y - 3z + 5 = 0 .

Решение

На биссектрисе угла с вершиной C взята точка P. Прямая, проходящая через точку P, высекает на сторонах угла отрезки длиной a и b.
Докажите, что величина ¹/_a + ¹/_b не зависит от выбора этой прямой.

Решение

Найти целое число a, при котором (x – a)(x – 10) + 1 разлагается в произведение (x + b)(x + c) двух множителей с целыми b и c.

Решение

Задача 76490

Задача 76486

Задача 76492

Задача 76494

Задача 76499