Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Московская математическая олимпиада
>>
1953 год
>>
9 класс, 2 тур
Фильтр
Выбрано 12 задач Убрать все задачи
Концы отрезков AB и CD перемещаются по сторонам данного угла, причем прямые AB и CD перемещаются параллельно; M – точка пересечения отрезков AB и CD. Докажите, что величина
остается постоянной.
Известно, что число a положительно, а неравенство 10 < ax < 100 имеет ровно пять решений в натуральных числах.
Сколько таких решений может иметь неравенство 100 < ax < 1000?
Коля и Женя договорились встретиться в метро в первом часу дня. Коля приходит на место встречи между полуднем и часом дня, ждёт 10 минут и уходит. Женя поступает точно так же.
а) Какова вероятность того, что они встретятся?
б) Как изменится вероятность встречи, если Женя решит прийти раньше половины первого, а Коля по-прежнему – между полуднем и часом?
в) Как изменится вероятность встречи, если Женя решит прийти в произвольное время с 12.00 до 12.50, а Коля по-прежнему между 12.00 и 13.00?
В центре квадратного пирога находится изюминка. От пирога можно отрезать треугольный кусок по линии, пересекающей в точках, отличных от вершин, две соседние стороны; от оставшейся части пирога — следующий кусок (таким же образом) и т.д. Можно ли отрезать изюминку?
Напишите вместо пропуска число (буквами, а не цифрами!), чтобы получилось истинное предложение:
Узлы бесконечной клетчатой бумаги раскрашены
в два цвета. Докажите, что существуют две горизонтальные
и две вертикальные прямые, на пересечении которых лежат
точки одного цвета.
Докажите, что если x + y + z = 6, то x² + y² + z² ≥ 12.
В круге проведены два перпендикулярных диаметра,
т. е. четыре радиуса, а затем построены четыре круга, диаметрами которых
служат эти радиусы. Докажите, что суммарная площадь попарно общих
частей этих кругов равна площади
части исходного круга, лежащей вне рассматриваемых четырех
кругов (рис.).
Докажите, что если a ≡ b (mod m) и
c ≡ d (mod m), то
а) a + c ≡ b + d (mod m); б) ac ≡ bd (mod m).
Внутри равностороннего треугольника со стороной 1
расположено пять точек. Докажите, что расстояние между
некоторыми двумя из них меньше 0, 5.
Внутри острого угла BAC дана точка M. Постройте на сторонах BA
и AC точки X и Y так, чтобы периметр треугольника XYM был
минимальным.
Даны уравнения ax² + bx + c = 0 (1) и – ax² + bx + c (2). Доказать, что если x1 и x2 – соответственно какие-либо корни уравнений (1) и (2), то найдётся такой корень x3 уравнения ½ ax² + bx + c, что либо x1 ≤ x3 ≤ x2, либо x1 ≥ x3 ≥ x2.
Задачи Страница: 1 [Всего задач: 4]
Задача 77984 (#1) |
|
|
1953 цифры выписаны по кругу. Известно, что если читать эти цифры по часовой стрелке, начиная с некоторого определённого места, то полученное 1953-значное число делится на 27. Докажите, что если начать читать по часовой стрелке с любого другого места, то полученное число также будет делиться на 27.
|
|
Решение |
Задача 77988 (#2) |
|
|
В плоскости дан треугольник A1A2A3 и прямая l вне его, образующая с продолжением сторон треугольника A1A2, A2A3, A3A1 соответственно углы α3, α1, α2. Через точки A1, A2, A3 проводятся прямые, образующие с l соответственно углы π – α1, π – α2, π – α3. Доказать, что эти прямые пересекаются в одной точке. Все углы отсчитываются от прямой l в одном направлении.
|
|
|
Решение |
Задача 77989 (#3) |
|
|
Даны уравнения ax² + bx + c = 0 (1) и – ax² + bx + c (2). Доказать, что если x1 и x2 – соответственно какие-либо корни уравнений (1) и (2), то найдётся такой корень x3 уравнения ½ ax² + bx + c, что либо x1 ≤ x3 ≤ x2, либо x1 ≥ x3 ≥ x2.
|
|
Решение |
Задача 77991 (#5) |
|
|
Разрезать куб на три равные пирамиды.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 [Всего задач: 4]
