Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Олимпиады и турниры >> Московская математическая олимпиада >> 1956 год >> 9 класс, 1 тур
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 18 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите, что

$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a+b}{c}=\cos\frac{\alpha -\beta }{2} }\right.$$\displaystyle {\frac{a+b}{c}}$ = cos$\displaystyle {\frac{\alpha -\beta }{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a+b}{c}=\cos\frac{\alpha -\beta }{2} }\right/$sin$\displaystyle {\frac{\gamma }{2}}$,    и    $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a-b}{c}= \sin\frac{\alpha -\beta }{2}}\right.$$\displaystyle {\frac{a-b}{c}}$ = sin$\displaystyle {\frac{\alpha -\beta }{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a-b}{c}= \sin\frac{\alpha -\beta }{2}}\right/$cos$\displaystyle {\frac{\gamma }{2}}$.


Вниз   Решение

На отрезке AE по одну сторону от него построены равносторонние треугольники ABC и CDE; M и P — середины отрезков AD и BE. Докажите, что треугольник CPM равносторонний.

ВверхВниз   Решение

Показать, что  271958 – 108878 + 101528  делится на 26460.

ВверхВниз   Решение

На плоскости дано несколько правильных n-угольников. Докажите, что выпуклая оболочка их вершин имеет не менее n углов.

ВверхВниз   Решение

На плоскости лежат две одинаковые буквы $ \Gamma$. Концы коротких палочек этих букв обозначим A и A'. Длинные палочки разбиты на n равных частей точками A1,..., An - 1; A1',..., An - 1' (точки деления нумеруются от концов длинных палочек). Прямые AAi и A'Ai' пересекаются в точке Xi. Докажите, что точки X1,..., Xn - 1 образуют выпуклый многоугольник.

ВверхВниз   Решение

Дан треугольник ABC. Найти геометрическое место таких точек M, что треугольники ABM и BCM – равнобедренные.

ВверхВниз   Решение

Имеется пять звеньев цепи по 3 кольца в каждом. Какое наименьшее число колец нужно расковать и сковать, чтобы соединить эти звенья в одну цепь?

ВверхВниз   Решение

Разрежьте квадрат на 6 частей и сложите из них три одинаковых квадрата.

ВверхВниз   Решение

M1, M2,..., M6 — середины сторон выпуклого шестиугольника A1A2...A6. Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны и параллельны отрезкам M1M2, M3M4, M5M6.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что в игре в "крестики-нолики" на поле 3*3 при правильной игре первого игрока второй игрок выиграть не сможет.

ВверхВниз   Решение

Постройте ромб, две стороны которого лежат на двух данных параллельных прямых, а две другие проходят через две данные точки.

ВверхВниз   Решение

Пусть при инверсии с центром O точка A переходит в A', а точка B – в B'. Докажите, что треугольники OAB и OB'A' подобны.

ВверхВниз   Решение

Точка D лежит на основании AC равнобедренного треугольника ABC. Докажите, что радиусы описанных окружностей треугольников ABD и CBD равны.

ВверхВниз   Решение

Из точки, лежащей внутри выпуклого n-угольника, проведены лучи, перпендикулярные его сторонам и пересекающие стороны (или их продолжения). На этих лучах отложены векторы a1,...,an, длины которых равны длинам соответствующих сторон. Докажите, что a1 +...+ an = 0.

ВверхВниз   Решение

Найти геометрическое место центров прямоугольников, описанных около данного остроугольного треугольника.

ВверхВниз   Решение

На клетчатой бумаге выбраны три точки A, B, C, находящиеся в вершинах клеток. Докажите, что если треугольник ABC остроугольный, то внутри или на сторонах его есть по крайней мере еще одна вершина клетки.

ВверхВниз   Решение

Квадратная таблица из 49 клеток заполнена числами от 1 до 7 так, что в каждом столбце и в каждой строке встречаются все эти числа. Докажите, что если таблица симметрична относительно диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, то на этой диагонали встречаются все эти числа.

ВверхВниз   Решение

В выпуклом четырехугольнике ABCD взят четырехугольник KLMN, образованный центрами тяжести треугольников ABC, BCD, DBA и CDA. Доказать, что прямые, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника ABCD, пересекаются в той же точке, что и прямые, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника KLMN.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

  с решениями  

Задача 78070  (#1)

Тема:   [ Теорема о группировке масс ]
Сложность: 3-
Классы: 10,11

В выпуклом четырехугольнике ABCD взят четырехугольник KLMN, образованный центрами тяжести треугольников ABC, BCD, DBA и CDA. Доказать, что прямые, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника ABCD, пересекаются в той же точке, что и прямые, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника KLMN.
Прислать комментарий     Решение

Задача 78066  (#2)

Темы:   [ Десятичные дроби (прочее) ]
[ Приближения чисел ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10

В десятичной записи положительного числа α отброшены все десятичные знаки, начиная с третьего знака после запятой (то есть взято приближение α с недостатком с точностью до 0, 01). Полученное число делится на α и частное снова округляется с недостатком с той же точностью. Какие числа при этом могут получиться?

Прислать комментарий     Решение

Задача 78069  (#3)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Средние величины ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3
Классы: 9,10

На клетчатой бумаге написана таблица, причём в каждой клетке стоит число, равное среднему арифметическому четырёх чисел, стоящих в соседних клетках. Все числа в таблице различны. Докажите, что наибольшее число стоит с края (то есть по крайней мере одна из соседних клеток отсутствует).

Прислать комментарий     Решение

Задача 78071  (#4)

Темы:   [ Высота пирамиды (тетраэдра) ]
[ ГМТ в пространстве (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Даны положительные числа h, s1, s2 и расположенный в пространстве треугольник ABC. Сколькими способами можно выбрать точку D так, чтобы в тетраэдре ABCD высота, опущенная из вершины D, была равна h, а площади граней ACD и BCD соответственно s1 и s2 (исследовать все возможные случаи)?
Прислать комментарий     Решение

Задача 78068  (#5)

Темы:   [ Обыкновенные дроби ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Пусть a, b, c, d, l – целые числа. Докажите, что если дробь     сократима на число k, то  ad – bc  делится на k.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .