Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Олимпиады и турниры >> Московская математическая олимпиада >> 1960 год
Варианты:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 7 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Улитка должна проползти вдоль линий клетчатой бумаги путь длины 2n, начав и кончив свой путь в данном узле.
Доказать, что число различных её маршрутов равно  

Вниз   Решение

Доказать, что в трапеции сумма углов при меньшем основании больше, чем при большем.

ВверхВниз   Решение

Докажите неравенство для натуральных  n > 1:  

ВверхВниз   Решение

Автор: Блинков А.Д.

Дан четырёхугольник ABCD. Оказалось, что описанная окружность треугольника ABC, касается стороны CD, а описанная окружность треугольника ACD касается стороны AB. Докажите, что диагональ AC меньше, чем расстояние между серединами сторон AB и CD.

ВверхВниз   Решение

Докажите неравенство   nn+1 > (n + 1)n  для натуральных  n > 2.

ВверхВниз   Решение

Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на которых лежат его стороны, параллельно перенести на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному, причём параллельные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в данный многоугольник можно вписать окружность.

ВверхВниз   Решение

Даны числа $ \alpha_{1}$,$ \alpha_{2}$,...,$ \alpha_{k}$, причём для всех натуральных нечётных n имеет место равенство

$\displaystyle \alpha_{1}^{n}$ + $\displaystyle \alpha_{2}^{n}$ + ... + $\displaystyle \alpha_{k}^{n}$ = 0.

Доказать, что те из чисел $ \alpha_{1}$,$ \alpha_{2}$,...,$ \alpha_{k}$, которые не равны нулю, можно разбить на пары таким образом, чтобы два числа, входящие в одну и ту же пару, были бы равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 34]      

  с решениями  

Задача 78234

Темы:   [ Принцип Дирихле ]
[ Процессы и операции ]
[ Раскладки и разбиения ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Число A делится на 1, 2, 3, ..., 9. Доказать, что если 2A представлено в виде суммы натуральных чисел, меньших 10,  2A = a1 + a2 + ... + ak,  то из чисел a1, a2, ..., ak можно выбрать часть, сумма которых равна A.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78236

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Сочетания и размещения ]
[ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Теория графов (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Собралось n человек. Некоторые из них знакомы между собой, причём каждые два незнакомых имеют ровно двух общих знакомых, а каждые два знакомых не имеют общих знакомых. Доказать, что каждый из присутствующих знаком с одинаковым числом человек.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78237

Темы:   [ Классическая комбинаторика (прочее) ]
[ Сочетания и размещения ]
[ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Улитка должна проползти вдоль линий клетчатой бумаги путь длины 2n, начав и кончив свой путь в данном узле.
Доказать, что число различных её маршрутов равно  

Прислать комментарий     Решение

Задача 78215

Темы:   [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ]
[ Свойства симметрии и центра симметрии ]
[ Доказательство от противного ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
[ Малые шевеления ]
[ Выпуклые многоугольники ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Дан выпуклый многоугольник и точка O внутри него. Любая прямая, проходящая через точку O, делит площадь многоугольника пополам. Доказать, что многоугольник центрально-симметричный и O — центр симметрии.
Прислать комментарий     Решение

Задача 78220

Тема:   [ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 11

Даны числа $ \alpha_{1}$,$ \alpha_{2}$,...,$ \alpha_{k}$, причём для всех натуральных нечётных n имеет место равенство

$\displaystyle \alpha_{1}^{n}$ + $\displaystyle \alpha_{2}^{n}$ + ... + $\displaystyle \alpha_{k}^{n}$ = 0.

Доказать, что те из чисел $ \alpha_{1}$,$ \alpha_{2}$,...,$ \alpha_{k}$, которые не равны нулю, можно разбить на пары таким образом, чтобы два числа, входящие в одну и ту же пару, были бы равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 34]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .