Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 34]

Задача 78234

Темы:	[	Принцип Дирихле	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Раскладки и разбиения	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Число A делится на 1, 2, 3, ..., 9. Доказать, что если 2A представлено в виде суммы натуральных чисел, меньших 10, 2A = a₁ + a₂ + ... + a_k, то из чисел a₁, a₂, ..., a_k можно выбрать часть, сумма которых равна A.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78236

Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Сочетания и размещения	]
	[	Квадратные уравнения. Теорема Виета	]
	[	Теория графов (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Собралось n человек. Некоторые из них знакомы между собой, причём каждые два незнакомых имеют ровно двух общих знакомых, а каждые два знакомых не имеют общих знакомых. Доказать, что каждый из присутствующих знаком с одинаковым числом человек.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78237

Темы:	[	Классическая комбинаторика (прочее)	]
	[	Сочетания и размещения	]
	[	Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Улитка должна проползти вдоль линий клетчатой бумаги путь длины 2n, начав и кончив свой путь в данном узле.
Доказать, что число различных её маршрутов равно

Прислать комментарий

Решение

Задача 78215

Темы:	[	Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части	]
	[	Свойства симметрии и центра симметрии	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]
	[	Малые шевеления	]
	[	Выпуклые многоугольники	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Дан выпуклый многоугольник и точка O внутри него. Любая прямая, проходящая через точку O, делит площадь многоугольника пополам. Доказать, что многоугольник центрально-симметричный и O — центр симметрии.

Прислать комментарий Решение

Задача 78220

Тема:

[

Принцип крайнего (прочее)

]

Сложность: 4+
Классы: 11

Даны числа $\alpha_{1}$ , $\alpha_{2}$ ,..., $\alpha_{k}$ , причём для всех натуральных нечётных n имеет место равенство

$\displaystyle \alpha_{1}^{n}$ + $\displaystyle \alpha_{2}^{n}$ + ... + $\displaystyle \alpha_{k}^{n}$ = 0.

Доказать, что те из чисел $\alpha_{1}$ , $\alpha_{2}$ ,..., $\alpha_{k}$ , которые не равны нулю, можно разбить на пары таким образом, чтобы два числа, входящие в одну и ту же пару, были бы равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 34]