Версия для печати
Убрать все задачи

---

За круглым столом сидят 100 представителей 25 стран, по 4 представителя от каждой. Докажите, что их можно разбить на 4 группы таким образом, что в каждой группе будет по одному представителю от каждой страны, и никакие двое из одной группы не сидят за столом рядом.

   Решение

---

Точка A расположена на расстоянии 50 см от центра круга радиуса 1 см. Разрешается точку A отразить симметрично относительно произвольной прямой, пересекающей круг; полученную точку отразить симметрично относительно любой прямой, пересекающей круг, и т.д. Доказать, что: а) за 25 отражений точку A можно переместить внутрь круга; б) за 24 отражения этого сделать нельзя.

   Решение

---

Известно, что  f(x), g(x) и h(x) – квадратные трёхчлены. Может ли уравнение  f(g(h(x)))  = 0 иметь корни 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8?

   Решение

---

Решите уравнение   1 + 1 : (1 + 1 : (1 + 1 : (x + 2016))) = (1,2)².

   Решение

---

На доске записано произведение a₁a₂... a₁₀₀, где a₁, ..., a₁₀₀ – натуральные числа. Рассмотрим 99 выражений, каждое из которых получается заменой одного из знаков умножения на знак сложения. Известно, что значения ровно 32 из этих выражений чётные. Какое наибольшее количество чётных чисел среди a₁, a₂, ..., a₁₀₀ могло быть?

   Решение

---

Детали полотна игрушечной железной дороги имеют форму четверти окружности радиуса R. Докажите, что последовательно присоединяя их концами так, чтобы они плавно переходили друг в друга, нельзя составить путь, у которого начало совпадает с концом, а первое и последнее звенья образуют тупик, изображенный на рис.

   Решение

---

Найти множество центров тяжести всех остроугольных треугольников, вписанных в данную окружность.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78493  (#1)

Темы:   [ Раскладки и разбиения ] [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

a₁, a₂, ..., a_n — произвольные натуральные числа. Обозначим через b_k количество чисел из набора a₁, a₂, ..., a_n, удовлетворяющих условию:  a_i ≥ k.
Доказать, что   a₁ + a₂ + ... + a_n = b₁ + b₂ + ...

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78494  (#2)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В таблицу 8×8 вписаны все целые числа от 1 до 64. Доказать, что при этом найдутся два соседних числа, разность между которыми не меньше 5. (Соседними называются числа, стоящие в клетках, имеющих общую сторону.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78495  (#3)

Темы:   [ ГМТ с ненулевой площадью ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Найти множество центров тяжести всех остроугольных треугольников, вписанных в данную окружность.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78496  (#4)

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из набора 1, 2,..., 1963, чтобы сумма никаких двух чисел не делилась на их разность?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78497  (#5)

Темы:   [ Задачи на движение ] [ Покрытия ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

По аллее длиной 100 метров идут три человека со скоростями 1, 2 и 3 км/ч. Дойдя до конца аллеи, каждый из них поворачивает и идёт назад с той же скоростью. Доказать, что найдётся отрезок времени в 1 минуту, когда все трое будут идти в одном направлении.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями