Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 12 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Постройте образ точки A при инверсии относительно окружности S с центром O.

Вниз   Решение


Дан угол ABC и прямая l. Постройте прямую, параллельную прямой l, на которой стороны угла ABC высекают отрезок данной длины a.

ВверхВниз   Решение


Пусть a < b. Докажите, что  a + ha $ \leq$ b + hb.

ВверхВниз   Решение


Вокруг эллипса описан прямоугольник. Докажите, что длина его диагонали не зависит от положения прямоугольника.

ВверхВниз   Решение


Каждая диагональ выпуклого пятиугольника ABCDE отсекает от него треугольник единичной площади. Вычислите площадь пятиугольника ABCDE.

ВверхВниз   Решение


На плоскости расположено n$ \ge$5 окружностей так, что любые три из них имеют общую точку. Докажите, что тогда и все окружности имеют общую точку.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что если вершины выпуклого n-угольника лежат в узлах клетчатой бумаги, а внутри и на его сторонах других узлов нет, то  n ≤ 4.

ВверхВниз   Решение


В сегмент вписываются всевозможные пары пересекающихся окружностей, и для каждой пары через точки их пересечения проводится прямая. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку (см. задачу 3.44).

ВверхВниз   Решение


Впишите в данную окружность n-угольник, одна из сторон которого проходит через данную точку, а остальные стороны параллельны данным прямым.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что 3$ \left(\vphantom{\frac{a}{r_a}+\frac{b}{r_b}+\frac{c}{r_c}}\right.$$ {\frac{a}{r_a}}$ + $ {\frac{b}{r_b}}$ + $ {\frac{c}{r_c}}$$ \left.\vphantom{\frac{a}{r_a}+\frac{b}{r_b}+\frac{c}{r_c}}\right)$ $ \geq$ 4$ \left(\vphantom{\frac{r_a}{a}+\frac{r_b}{b}+\frac{r_c}{c}}\right.$$ {\frac{r_a}{a}}$ + $ {\frac{r_b}{b}}$ + $ {\frac{r_c}{c}}$$ \left.\vphantom{\frac{r_a}{a}+\frac{r_b}{b}+\frac{r_c}{c}}\right)$.

ВверхВниз   Решение


Продолжения сторон AB и CD прямоугольника ABCD пересекают некоторую прямую в точках M и N, а продолжения сторон AD и BC пересекают ту же прямую в точках P и Q. Постройте прямоугольник ABCD, если даны точки M, N, P, Q и длина a стороны AB.

ВверхВниз   Решение


Автор: Ионин Ю.И.

В трёх вершинах квадрата находятся три кузнечика. Они играют в чехарду, то есть прыгают друг через друга. При этом, если кузнечик A прыгает через кузнечика B, то после прыжка он оказывается от B на том же расстоянии, что и до прыжка, и, естественно, на той же прямой. Может ли один из них попасть в четвёртую вершину квадрата?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 41]      



Задача 58180  (#23.020)

Тема:   [ Шахматная раскраска ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

В каждой клетке доски 5×5 клеток сидит жук. В некоторый момент все жуки переползают на соседние (по горизонтали или вертикали) клетки. Обязательно ли при этом останется пустая клетка?
Прислать комментарий     Решение


Задача 58181  (#23.021)

Тема:   [ Шахматная раскраска ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

а) Можно ли замостить костями домино размером 1×2 шахматную доску размером 8×8, из которой вырезаны два противоположных угловых поля?
б) Докажите, что если из шахматной доски размером 8×8 вырезаны две произвольные клетки разного цвета, то оставшуюся часть доски всегда можно замостить костями домино размером 1×2.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58182  (#23.022)

Темы:   [ Четность и нечетность ]
[ Замощения костями домино и плитками ]
[ Шахматная раскраска ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Докажите, что доску размером 10×10 клеток нельзя разрезать на фигурки в форме буквы T, состоящие из четырёх клеток.

Прислать комментарий     Решение

Задача 58183  (#23.023)

Тема:   [ Шахматная раскраска ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Детали полотна игрушечной железной дороги имеют форму четверти окружности радиуса R. Докажите, что последовательно присоединяя их концами так, чтобы они плавно переходили друг в друга, нельзя составить путь, у которого начало совпадает с концом, а первое и последнее звенья образуют тупик, изображенный на рис.


Прислать комментарий     Решение

Задача 79240  (#23.024)

Темы:   [ Четность и нечетность ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Метод координат на плоскости ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Автор: Ионин Ю.И.

В трёх вершинах квадрата находятся три кузнечика. Они играют в чехарду, то есть прыгают друг через друга. При этом, если кузнечик A прыгает через кузнечика B, то после прыжка он оказывается от B на том же расстоянии, что и до прыжка, и, естественно, на той же прямой. Может ли один из них попасть в четвёртую вершину квадрата?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 41]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .