Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что  x + ¹/_x ≥ 2  при  x > 0.

   Решение

---

В квадрат вписано 1993 различных правильных треугольника (треугольник вписан, если три его вершины лежат на сторонах квадрата).
Докажите, что внутри квадрата можно указать точку, лежащую на границе не менее чем 499 из этих треугольников.

   Решение

---

Из точки A проведены касательные AB и AC к окружности с центром O. Докажите, что если из точки M отрезок AO виден под углом  90^o, то отрезки OB и OC видны из нее под равными углами.

   Решение

---

См. задачу 3 для 7 класса.

   Решение

---

Точка A расположена на расстоянии 50 см от центра круга радиусом 1 см. Разрешается отразить точку симметрично относительно любой прямой, пересекающей круг. Докажите, что: а) за 25 отражений точку A можно к загнатьк внутрь данного круга; б) за 24 отражения этого сделать нельзя.

   Решение

---

Дан остроугольный треугольник ABC. Его покрывают тремя кругами, центры которых лежат в вершинах, а радиусы равны высотам, проведённым из этих вершин. Доказать, что каждая точка треугольника покрыта хотя бы одним из кругов.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 79237

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3 Классы: 9

Может ли число, состоящее из шестисот шестёрок и некоторого количества нулей, быть квадратом целого числа?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79239

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3 Классы: 9

  Рассматриваются решения уравнения  ¹/_x + ¹/_y = ¹/_p  (p > 1),  где x, y и p – натуральные числа. Докажите, что если p – простое число, то уравнение имеет ровно три решения; если p – составное, то решений больше трёх  ((a, b)  и  (b, a) – различные решения, если  a ≠ b).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79251

Темы:   [ Покрытия ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 3 Классы: 8

Дан остроугольный треугольник ABC. Его покрывают тремя кругами, центры которых лежат в вершинах, а радиусы равны высотам, проведённым из этих вершин. Доказать, что каждая точка треугольника покрыта хотя бы одним из кругов.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 55131

Темы:   [ Параллелограммы (прочее) ] [ Отношение площадей треугольников с общим углом ] [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

На каждой стороне параллелограмма взято по точке. Площадь четырёхугольника с вершинами в этих точках равна половине площади параллелограмма. Докажите, что хотя бы одна из диагоналей четырёхугольника параллельна одной из сторон параллелограмма.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79243

Темы:   [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 10

Дан многочлен с целыми коэффициентами. В трёх целых точках он принимает значение 2.
Доказать, что ни в какой целой точке он не принимает значение 3.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями