Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 79303 (#1)

Темы:	[	Показательные неравенства	]
Темы:	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Какое из двух чисел больше:

а) (n двоек) или (n − 1 тройка);

б) (n троек) или (n − 1 четвёрка).

Прислать комментарий

Решение

Задача 79309 (#2)

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
Темы:	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Коля и Витя играют в следующую игру. На столе лежит куча из 100 камней. Мальчики делают ходы поочерёдно, а начинает Коля. Делая ход, играющий делит каждую кучку, в которой больше одного камня, на две меньшие кучки. Выигрывает тот, кто после своего хода оставляет кучки по одному камню в каждой. Сможет ли Коля сделать так, чтобы выиграть при любой игре Вити?

Прислать комментарий Решение

Задача 79307 (#3)

Темы:	[	Связность и разложение на связные компоненты	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Елисеев С.Л.

В некотором государстве города соединены дорогами. Длина каждой дороги меньше 500 км, и из каждого города в любой другой можно попасть, проехав по дорогам меньше 500 км. Когда одна дорога оказалась закрытой на ремонт, выяснилось, что из каждого города можно проехать по оставшимся дорогам в любой другой. Доказать, что при этом можно проехать меньше 1500 км.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79310 (#4)

Темы:	[	Выпуклые и невыпуклые фигуры (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Арена цирка освещается n различными прожекторами. Каждый прожектор освещает некоторую выпуклую фигуру. Известно, что если выключить один произвольный прожектор, то арена будет по-прежнему полностью освещена, а если выключить произвольные два прожектора, то арена полностью освещена не будет. При каких значениях n это возможно?

Прислать комментарий

Решение

Задача 79308 (#5)

Темы:	[	Свойства частей, полученных при разрезаниях	]
	[	Полуинварианты	]
	[	Сумма внутренних и внешних углов многоугольника	]
	[	Невыпуклые многоугольники	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Можно ли какой-нибудь выпуклый многоугольник разрезать на конечное число невыпуклых четырёхугольников?

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]