Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 7 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Сторона клетки клетчатой бумаги равна 1. По линиям сетки построен прямоугольник со сторонами m и n. Можно ли в прямоугольнике провести по линиям сетки замкнутую ломаную, которая ровно один раз проходила бы через каждый узел сетки, расположенный внутри или на границе прямоугольника? Если можно, то какова её длина?

Вниз   Решение


a1, a2, ..., an — произвольные натуральные числа. Обозначим через bk количество чисел из набора a1, a2, ..., an, удовлетворяющих условию:  aik.
Доказать, что   a1 + a2 + ... + an = b1 + b2 + ...

ВверхВниз   Решение


Из центра правильного 25-угольника проведены векторы во все его вершины.
Как надо выбрать несколько векторов из этих 25, чтобы их сумма имела наибольшую длину?

ВверхВниз   Решение


Плоский многоугольник A1A2...An составлен из n твёрдых стержней, соединенных шарнирами. Доказать, что если n > 4, то его можно деформировать в треугольник.

ВверхВниз   Решение


Решить в натуральных числах уравнение

ВверхВниз   Решение


В концах отрезка пишутся две единицы. Посередине между ними пишется их сумма – число 2. Затем посередине между каждыми двумя соседними из написанных чисел снова пишется их сумма и так далее 1973 раза. Сколько раз будет написано число 1973?

ВверхВниз   Решение


Существует ли такое натуральное число A, что если приписать его к самому себе справа, то полученное число окажется полным квадратом?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 15]      



Задача 79325

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Деление с остатком ]
[ Признаки делимости на 3 и 9 ]
[ Периодичность и непериодичность ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Доказать, что существует такое натуральное число n, большее 1000, что сумма цифр числа 2n больше суммы цифр числа 2n+1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 79330

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 11

В клетках таблицы размером 10×20 расставлено 200 различных чисел. В каждой строчке отмечены три наибольших числа красным цветом, а в каждом столбце отмечены три наибольших числа синим цветом. Доказать, что не менее девяти чисел отмечены в таблице как красным, так и синим цветом.

Прислать комментарий     Решение

Задача 79314

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Куб ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Теорема косинусов ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Астрономический прожектор освещает октант (трёхгранный угол, у которого все плоские углы прямые). Прожектор помещён в центр куба. Можно ли его повернуть таким образом, чтобы он не освещал ни одной вершины куба?
Прислать комментарий     Решение


Задача 79328

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Перебор случаев ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Существует ли такое натуральное число A, что если приписать его к самому себе справа, то полученное число окажется полным квадратом?

Прислать комментарий     Решение

Задача 79323

Темы:   [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
[ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]
[ Системы точек ]
[ Против большей стороны лежит больший угол ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

На плоскости задано конечное множество точек. Доказать, что в нём найдётся точка, у которой имеется не более трёх ближайших к ней точек из этого же множества.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 15]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .