Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 79430 (#1)

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
Темы:	[	Разложение на множители	]

Сложность: 3+
Классы: 9

Доказать, что при любых x > и y > выполняется неравенство x⁴ – x³y + x²y² – xy³ + y⁴ > x² + y².

Прислать комментарий

Решение

Задача 79431 (#2)

Темы:	[	Векторы	]
Темы:	[	Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$	]

Сложность: 3+
Классы: 9

На сторонах треугольника ABC вне его построены правильные треугольники ABC₁, BCA₁ и CAB₁. Доказать, что $\overrightarrow{AA_1}$ + $\overrightarrow{BB_1}$ + $\overrightarrow{CC_1}$ = $\overrightarrow{0}$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 79432 (#3)

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Формулы сокращенного умножения (прочее)	]
	[	Арифметические действия. Числовые тождества	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Может ли квадрат какого-либо натурального числа начинаться с 1983 девяток?

Прислать комментарий

Решение

Задача 79433 (#4)

Темы:	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Перестановки и подстановки (прочее)	]
	[	Правильные многоугольники	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

В вершинах правильного 1983-угольника расставлены числа 1, 2, ..., 1983. Любая его ось симметрии делит числа, не лежащие на ней, на два множества. Назовём расстановку "хорошей" относительно данной оси симметрии, если каждое число одного множества больше симметричного ему числа. Существует ли расстановка, являющаяся "хорошей" относительно любой оси симметрии?

Прислать комментарий

Решение

Задача 79434 (#5)

Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Две пары подобных треугольников	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]

Сложность: 3+
Классы: 9

На окружности выбрано пять точек A₁, A₂, A₃, A₄, H. Обозначим через h_ij расстояние от точки H до прямой A_iA_j. Доказать, что h₁₂h₃₄ = h₁₄h₂₃.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]