Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 4]

Задача 79435 (#1)

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
Темы:	[	Формулы сокращенного умножения (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 10

Доказать, что при любой расстановке знаков "+" и "−" у нечётных степеней x выполнено неравенство
x²ⁿ ± x^2n–1 + x^2n–2 ± x^2n–3 + ... + x⁴ ± x³ + x² ± x + 1 > ½ (x – произвольное действительное число, а n – натуральное).

Прислать комментарий

Решение

Задача 79436 (#2)

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
Темы:	[	Общая касательная к двум окружностям	]

Сложность: 3+
Классы: 10

Три окружности радиусов 3, 4, 5 внешне касаются друг друга. Через точку касания окружностей радиусов 3 и 4 проведена их общая касательная. Найти длину отрезка этой касательной, заключённой внутри окружности радиуса 5.

Прислать комментарий Решение

Задача 79437 (#3)

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Разложение на множители	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Доказать, что 1¹⁹⁸³ + 2¹⁹⁸³ + ... + 1983¹⁹⁸³ делится на 1 + ... + 1983.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79438 (#4)

Темы:	[	Сочетания и размещения	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Связность и разложение на связные компоненты	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Двадцать городов соединены 172 авиалиниями.
Доказать, что, используя эти авиалинии, можно из любого города перелететь в любой другой (быть может, делая пересадки).

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 4]