Доказать, что число всех цифр в последовательности 1, 2, 3,..., 10^k равно числу всех нулей в последовательности 1, 2, 3,..., 10^{k + 1}.

   Решение

Каждая грань куба заклеивается двумя равными прямоугольными треугольниками с общей гипотенузой, один из которых белый, другой — чёрный. Можно ли эти треугольники расположить так, чтобы при каждой вершине куба сумма белых углов была равна сумме чёрных углов?

   Решение

Существует ли такое натуральное x, что  x² + x + 1  делится на 1985?

   Решение

Высоты AA' и BB' треугольника ABC пересекаются в точке H. Точки X и Y – середины отрезков AB и CH соответственно.
Доказать, что прямые XY и A'B' перпендикулярны.

   Решение

Верно ли, что любой треугольник можно разрезать на 1000 частей, из которых можно сложить квадрат?

   Решение

В каком из выражений:  (1 – x² + x³)¹⁰⁰⁰,   (1 + x² – x³)¹⁰⁰⁰  после раскрытия скобок и приведения подобных членов больший коэффициент при x²⁰?

   Решение

Улитка ползёт по плоскости с постоянной скоростью, каждые 15 минут поворачивая под прямым углом.
Докажите, что вернуться в исходную точку она сможет лишь через целое число часов.

   Решение

На листе прозрачной бумаги нарисован четырёхугольник. Укажите способ, как сложить этот лист (возможно, в несколько раз), чтобы определить, является ли исходный четырёхугольник ромбом.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

На листе прозрачной бумаги нарисован четырёхугольник. Укажите способ, как сложить этот лист (возможно, в несколько раз), чтобы определить, является ли исходный четырёхугольник ромбом.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что ни для каких чисел x, y, t не могут одновременно выполняться три неравенства:  |x| < |y − t|, |y| < |t − x|, |t| < |x − y|.

Прислать комментарий

Решение

Три гнома живут в разных домах на плоскости и ходят со скоростями 1, 2 и 3 км/ч соответственно. Какое место для ежедневных встреч нужно им выбрать, чтобы сумма времён, необходимых каждому из гномов на путь от своего дома до этого места (по прямой), была наименьшей?

Прислать комментарий

Решение

Произведение некоторых 1986 натуральных чисел имеет ровно 1985 различных простых делителей.
Доказать, что либо одно из этих чисел, либо произведение нескольких из них является квадратом натурального числа.

Прислать комментарий

Решение

Известно, что в кодовом замке исправны только кнопки с номерами 1, 2, 3, а код этого замка трёхзначен и не содержит других цифр. Написать последовательность цифр наименьшей длины, наверняка открывающую этот замок (замок открывается, как только подряд и в правильном порядке нажаты все три цифры его кода).

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]