Версия для печати
Убрать все задачи

---

В какое наименьшее число цветов нужно раскрасить клетки бесконечного листа клетчатой бумаги, чтобы
  а) каждые две клетки на расстоянии 6 были покрашены в разные цвета?

  б) каждые четыре клетки, образующие фигуру формы буквы Г, были покрашены в четыре разных цвета?
(Расстояние между клетками – наименьшее число линий сетки, горизонтальных и вертикальных, которые должна пересечь ладья на пути из одной клетки в другую.)

   Решение

---

Дан выпуклый четырёхугольник. Постройте циркулем и линейкой точку, проекции которой на прямые, содержащие его стороны, являются вершинами параллелограмма.

   Решение

---

Придя в тир, Петя купил 5 пуль. За каждый успешный выстрел ему дают еще 5 пуль. Петя утверждает, что он сделал 50 выстрелов и 8 раз попал в цель, а его друг Вася говорит, что этого не может быть. Кто из мальчиков прав?

   Решение

---

Куб размером 10×10×10 сложен из 500 чёрных и 500 белых кубиков в шахматном порядке (кубики, примыкающие друг к другу гранями, имеют различные цвета). Из этого куба вынули 100 кубиков так, чтобы в каждом из 300 рядов размером 1×1×10, параллельных какому-нибудь ребру куба, не хватало ровно одного кубика. Докажите, что число вынутых чёрных кубиков делится на 4.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 79595  (#1)

Темы:   [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ] [ Системы линейных уравнений ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Функция $f(x)$ при каждом значении  $x \in (-\infty, + \infty)$ удовлетворяет равенству $$f(x) + \left(x + \frac12 \right) f(1 - x) = 1.$$

а) Найдите $f(0)$ и $f(1)$.

б) Найдите все такие функции $f(x)$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79596  (#2)

Темы:   [ Наглядная геометрия в пространстве ] [ Касающиеся сферы ] [ Стереометрия (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Какое количество $n$ из 16 одинаковых биллиардных шаров можно расположить в пространстве так, чтобы каждый шар касался ровно трёх других? Перечислите все возможные значения $n$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 53137  (#3)

Темы:   [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Даны две непересекающиеся окружности, к которым проведены две общие внешние касательные. Рассмотрим равнобедренный треугольник, основание которого лежит на одной касательной, противоположная вершина – на другой, а каждая из боковых сторон касается одной из данных окружностей. Докажите, что высота треугольника равна сумме радиусов окружностей.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79598  (#4)

Темы:   [ Куб ] [ Шахматная раскраска ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10,11

Куб размером 10×10×10 сложен из 500 чёрных и 500 белых кубиков в шахматном порядке (кубики, примыкающие друг к другу гранями, имеют различные цвета). Из этого куба вынули 100 кубиков так, чтобы в каждом из 300 рядов размером 1×1×10, параллельных какому-нибудь ребру куба, не хватало ровно одного кубика. Докажите, что число вынутых чёрных кубиков делится на 4.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79599  (#5)

Тема:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Колоду из 54 карт фокусник разложил на несколько кучек, а зритель на всех картах каждой кучки написал число, равное количеству карт в этой кучке. Затем фокусник специальным образом перемешал карты и ещё раз разложил их на кучки, а зритель написал на каждой карте ещё одно число, равное количеству карт в новой кучке, и т.д. При каком наименьшем количестве раскладок фокусник мог добиться того, чтобы на разных картах оказались разные множества чисел (как бы ни располагал их зритель на карте)?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями