Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 79595 (#1)

Темы:	[	Характеристические свойства и рекуррентные соотношения	]
Темы:	[	Системы линейных уравнений	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Кукушкин Б.Н.

Функция $f(x)$ при каждом значении $x \in (-\infty, + \infty)$ удовлетворяет равенству $$f(x) + \left(x + \frac12 \right) f(1 - x) = 1.$$

а) Найдите $f(0)$ и $f(1)$.

б) Найдите все такие функции $f(x)$.

Прислать комментарий Решение

Задача 79596 (#2)

Темы:	[	Наглядная геометрия в пространстве	]
	[	Касающиеся сферы	]
	[	Стереометрия (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Кукушкин Б.Н.

Какое количество $n$ из 16 одинаковых биллиардных шаров можно расположить в пространстве так, чтобы каждый шар касался ровно трёх других? Перечислите все возможные значения $n$.

Прислать комментарий Решение

Задача 53137 (#3)

Темы:	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Шарыгин И.Ф.

Даны две непересекающиеся окружности, к которым проведены две общие внешние касательные. Рассмотрим равнобедренный треугольник, основание которого лежит на одной касательной, противоположная вершина – на другой, а каждая из боковых сторон касается одной из данных окружностей. Докажите, что высота треугольника равна сумме радиусов окружностей.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79598 (#4)

Темы:	[	Куб	]
	[	Шахматная раскраска	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Спивак А.В.

Куб размером 10×10×10 сложен из 500 чёрных и 500 белых кубиков в шахматном порядке (кубики, примыкающие друг к другу гранями, имеют различные цвета). Из этого куба вынули 100 кубиков так, чтобы в каждом из 300 рядов размером 1×1×10, параллельных какому-нибудь ребру куба, не хватало ровно одного кубика. Докажите, что число вынутых чёрных кубиков делится на 4.

Прислать комментарий Решение

Задача 79599 (#5)

Тема:

[

Теория алгоритмов (прочее)

]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Скопенков А.Б.

Колоду из 54 карт фокусник разложил на несколько кучек, а зритель на всех картах каждой кучки написал число, равное количеству карт в этой кучке. Затем фокусник специальным образом перемешал карты и ещё раз разложил их на кучки, а зритель написал на каждой карте ещё одно число, равное количеству карт в новой кучке, и т.д. При каком наименьшем количестве раскладок фокусник мог добиться того, чтобы на разных картах оказались разные множества чисел (как бы ни располагал их зритель на карте)?

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]