Фильтр
Выбрано 8 задач Убрать все задачи
а) Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
б) Пусть H – точка пересечения высот треугольника ABC, R – радиус описанной окружности. Докажите, что AH² + BC² = 4R² и AH = BC |ctg α|.
Дан выпуклый пятиугольник, все углы которого тупые. Докажите,
что в нем найдутся две такие диагонали, что круги, построенные
на них как на диаметрах, полностью покроют весь пятиугольник.
Точки А, В и С лежат на прямой m, а точки D и Е на ней не лежат. Известно, что AD = AE и BD = BE. Докажите, что CD = CE.
Прожектор освещает угол величиной
90o. Докажите, что в
любых четырех заданных точках можно разместить 4 прожектора так,
что они осветят всю плоскость.
Пусть p(n) – количество разбиений числа n
(определение разбиений смотри здесь). Докажите равенства:
(По определению считается, что p(0) = 1.)
а) Докажите, что площадь четырехугольника, образованного серединами
сторон выпуклого четырехугольника ABCD, равна половине площади ABCD.
б) Докажите, что если диагонали выпуклого четырехугольника равны,
то его площадь равна произведению длин отрезков, соединяющих середины
противоположных сторон.
Внутри треугольника ABC взята произвольная точка O и построены точки A1, B1 и C1, симметричные O относительно середин сторон BC, CA и AB. Докажите, что треугольники ABC и A1B1C1 равны и прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
Разрежьте круг на несколько равных частей так, чтобы центр круга не лежал на границе хотя бы одной из них.
Задачи Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
Задача 86100 (#1) |
|
|
Найти хотя бы одно целочисленное решение уравнения a²b² + a² + b² + 1 = 2005.
|
|
Решение |
Задача 86101 (#2) |
|
|
Клетчатый бумажный квадрат 8×8 согнули несколько раз по линиям клеток так, что получился квадратик 1×1. Его разрезали по отрезку, соединяющему середины двух противоположных сторон квадратика. На сколько частей мог при этом распасться квадрат?
|
|
|
Решение |
Задача 86102 (#3) |
|
|
Высоты AA' и BB' треугольника ABC пересекаются в точке H. Точки X и Y – середины отрезков AB и CH соответственно.
Доказать, что прямые XY и A'B' перпендикулярны.
|
|
|
Решение |
Задача 86103 (#4) |
|
|
По кругу расставлены 2005 натуральных чисел.
Доказать, что найдутся два соседних числа, после выкидывания которых оставшиеся числа нельзя разбить на две группы с равной суммой.
|
|
|
Решение |
Задача 86104 (#5) |
|
|
Разрежьте круг на несколько равных частей так, чтобы центр круга не лежал на границе хотя бы одной из них.
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
