- осенний тур, тренировочный вариант, 7-8 класс (4 задачи)
- осенний тур, основной вариант, 7-8 класс (6 задач)
- осенний тур, тренировочный вариант, 9-10 класс (4 задачи)
- осенний тур, основной вариант, 9-10 класс (6 задач)
- весенний тур, тренировочный вариант, 7-8 класс (4 задачи)
- весенний тур, основной вариант, 7-8 класс (6 задач)
- весенний тур, тренировочный вариант, 9-10 класс (4 задачи)
- весенний тур, основной вариант, 9-10 класс (6 задач)
- весенний тур, вариант для москвичей, 7-8 класс (4 задачи)
Фильтр
Выбрано 8 задач Убрать все задачи
Докажите, что предпоследняя цифра любой степени числа 3 чётна.
Во время бала каждый юноша танцевал вальс с девушкой либо более красивой, чем на предыдущем танце, либо более умной, а один – с девушкой одновременно более красивой и более умной. Могло ли такое быть? (Юношей и девушек на балу было поровну.)
Позиционная система
счисления.
Докажите, что
при
q 2 каждое натуральное число n может быть
единственным образом представлено в виде
а) Вершины правильного 10-угольника закрашены чёрной и белой краской через одну. Двое играют в следующую игру. Каждый по очереди проводит отрезок, соединяющий вершины одинакового цвета. Эти отрезки не должны иметь общих точек (даже концов) с проведенными ранее. Побеждает тот, кто сделал последний ход. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий игру или его партнер?
б) Тот же вопрос для 12-угольника.
Петя хочет изготовить необычную игральную кость, которая, как обычно, должна иметь форму куба, на гранях которого нарисованы точки (на разных гранях разное число точек), но при этом на каждых двух соседних гранях число точек должно различаться по крайней мере на два (при этом разрешается, чтобы на некоторых гранях оказалось больше шести точек). Сколько всего точек необходимо для этого нарисовать?
Рассматриваются такие наборы действительных чисел {x1, x2, x3, ..., x20}, заключённых между 0 и 1, что x1x2x3...x20 = (1 – x1)(1 – x2)(1 – x3)...(1 – x20). Найдите среди этих наборов такой, для которого значение x1x2x3...x20 максимально.
а) Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4 (цифры могут повторяться).
б) Найдите сумму всех семизначных чисел, которые можно получить всевозможными перестановками цифр 1, ..., 7.
Доказать, что в вершинах многогранника можно расставить натуральные числа
так, что в каждых двух вершинах, соединённых ребром, стоят числа не взаимно простые, а в каждых двух вершинах, не соединённых ребром, взаимно простые.
Примечание: простых чисел бесконечно много.
Задачи Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 39]
Задача 97977 |
|
|
Известно, что доля блондинов среди голубоглазых больше чем доля блондинов
среди всех людей.
Что больше: доля голубоглазых среди блондинов или доля голубоглазых среди всех людей?
|
|
Решение |
Задача 97979 |
|
|
Докажите, что из любых семи натуральных чисел (не обязательно идущих подряд) можно выбрать три числа, сумма которых делится на 3.
|
|
|
Решение |
Задача 97980 |
|
|
Каждую грань кубика разбили на четыре равных квадрата и раскрасили эти квадраты в три цвета так, чтобы квадраты, имеющие общую сторону, были покрашены в разные цвета. Докажите, что в каждый цвет покрашено по 8 квадратиков.
|
|
|
Решение |
Задача 97989 |
|
Доказать, что в вершинах многогранника можно расставить натуральные числа
так, что в каждых двух вершинах, соединённых ребром, стоят числа не взаимно простые, а в каждых двух вершинах, не соединённых ребром, взаимно простые.
Примечание: простых чисел бесконечно много.
|
|
Решение |
Задача 97997 |
|
|
Положительные числа a, b, c таковы, что a ≥ b ≥ c и a + b + c ≤ 1. Докажите, что a² + 3b² + 5c² ≤ 1.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 39]
