По окружности выписано 10 чисел, их сумма равна 100. Известно, что сумма каждой тройки чисел, стоящих подряд, не меньше 29.
Укажите такое наименьшее число A, что в любом таком наборе чисел каждое из чисел не превышает A.

   Решение

В каждой клетке квадрата  8×8  клеток проведена одна из диагоналей. Рассмотрим объединение этих 64 диагоналей. Оно состоит из нескольких связных частей (к одной части относятся точки, между которыми можно пройти по одной или нескольким диагоналям). Может ли количество этих частей быть
  а) больше 15?
  б) больше 20?

   Решение

На шахматной доске 4×4 расположена фигура – "летучая ладья", которая ходит так же, как обычная ладья, но не может за один ход стать на поле, соседнее с предыдущим. Может ли она за 16 ходов обойти всю доску, становясь на каждое поле по разу, и вернуться на исходное поле?

   Решение

Докажите, что

   Решение

Существует ли бесконечное число таких троек целых чисел x, y, z, что   x² + y² + z² = x³ + y³ + z³?

   Решение

Имеется шоколадка с пятью продольными и восемью поперечными углублениями, по которым её можно ломать (всего получается  9·6 = 54  дольки). Играют двое, ходят по очереди. Играющий за свой ход отламывает от шоколадки полоску ширины 1 и съедает её. Другой играющий за свой ход делает то же самое с оставшейся частью, и т. д. Тот, кто разламывает полоску ширины 2 на две полоски ширины 1, съедает одну из них, а другую съедает его партнер. Докажите, что начинающий игру может действовать таким образом, что ему достанется по крайней мере на 6 долек больше, чем второму.

   Решение

Последовательность {a_n} определяется правилами:  a₀ = 9,    .
Докажите, что в десятичной записи числа a₁₀ содержится не менее 1000 девяток.

   Решение

n чисел  (n > 1)  называются близкими, если каждое из них меньше чем сумма всех чисел, делённая на  n – 1.  Пусть  a, b, c, ...   – n близких чисел, S – их сумма. Докажите, что
  а) все они положительны;
  б)  a + b > c;
  в)  a + b > ^S/_n–1.

   Решение

а) Может ли случиться, что в компании из 10 девочек и 9 мальчиков все девочки знакомы с разным числом мальчиков, а все мальчики – с одним и тем же числом девочек?
б) А если девочек 11, а мальчиков 10?

   Решение

Можно ли найти десять таких последовательных натуральных чисел, что сумма их квадратов равна сумме квадратов следующих за ними девяти последовательных натуральных чисел?

   Решение

Построить выпуклый четырёхугольник, зная длины всех сторон и отрезка, соединяющего середины диагоналей.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

Построить выпуклый четырёхугольник, зная длины всех сторон и отрезка, соединяющего середины диагоналей.

Прислать комментарий

Решение

На кружок пришло 60 учеников. Оказалось, что среди каждых десяти из них есть не меньше трёх одноклассников.
Докажите, что среди кружковцев найдётся по меньшей мере 15 учеников, которые учатся в одном классе.

Прислать комментарий

Решение

Из точки O, лежащей внутри выпуклого n-угольника A₁A₂...A_n, проведены отрезки ко всем вершинам: OA₁, OA₂, ..., OA_n . Оказалось, что все углы между этими отрезками и прилегающими к ним сторонами n-угольника – острые, причём  ∠OA₁A_n ≤ ∠OA₁A₂,  ∠OA₂A₁ ≤ ∠OA₂A₃,  ...,
∠OA_n–1A_n–2 ≤ ∠OA_n–1A_n,  ∠OA_nA_n–1 ≤ ∠OA_nA₁.  Докажите, что O – центр окружности, вписанной в n-угольник.

Прислать комментарий

Решение

10 фишек стоят на столе по кругу. Сверху фишки красные, снизу – синие. Разрешены две операции:
  а) перевернуть четыре фишки, стоящие подряд;
  б) перевернуть четыре фишки, расположенные так:  ××0××  (× – фишка, входящая в четвёрку, 0 – не входящая).
Удастся ли, используя несколько раз разрешённые операции, перевернуть все фишки синей стороной вверх?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 4]