Каталог по источникам

Выбрано 15 задач

Докажите, что предпоследняя цифра любой степени числа 3 чётна.

Во время бала каждый юноша танцевал вальс с девушкой либо более красивой, чем на предыдущем танце, либо более умной, а один – с девушкой одновременно более красивой и более умной. Могло ли такое быть? (Юношей и девушек на балу было поровну.)

Решение

Позиционная система счисления. Докажите, что при q $\geqslant$ 2 каждое натуральное число n может быть единственным образом представлено в виде

n = a_kq^k + a_{k - 1}q^{k - 1} +...+ a₁q + a₀,

где 0 $\leqslant$ a₀,..., a_k < q

Решение

Автор: Иванов В.

а) Вершины правильного 10-угольника закрашены чёрной и белой краской через одну. Двое играют в следующую игру. Каждый по очереди проводит отрезок, соединяющий вершины одинакового цвета. Эти отрезки не должны иметь общих точек (даже концов) с проведенными ранее. Побеждает тот, кто сделал последний ход. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий игру или его партнер?
б) Тот же вопрос для 12-угольника.

Решение

Автор: Фольклор

Петя хочет изготовить необычную игральную кость, которая, как обычно, должна иметь форму куба, на гранях которого нарисованы точки (на разных гранях разное число точек), но при этом на каждых двух соседних гранях число точек должно различаться по крайней мере на два (при этом разрешается, чтобы на некоторых гранях оказалось больше шести точек). Сколько всего точек необходимо для этого нарисовать?

Решение

Автор: Чернятьев Н.Л.

Рассматриваются такие наборы действительных чисел {x₁, x₂, x₃, ..., x₂₀}, заключённых между 0 и 1, что x₁x₂x₃...x₂₀ = (1 – x₁)(1 – x₂)(1 – x₃)...(1 – x₂₀). Найдите среди этих наборов такой, для которого значение x₁x₂x₃...x₂₀ максимально.

Решение

а) Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4 (цифры могут повторяться).
б) Найдите сумму всех семизначных чисел, которые можно получить всевозможными перестановками цифр 1, ..., 7.

Решение

Автор: Фольклор

Доказать, что в вершинах многогранника можно расставить натуральные числа так, что в каждых двух вершинах, соединённых ребром, стоят числа не взаимно простые, а в каждых двух вершинах, не соединённых ребром, взаимно простые.
Примечание: простых чисел бесконечно много.

Решение

Автор: Фольклор

Найдите все натуральные $n$ , удовлетворяющие условию: числа $1, 2, 3, \ldots, 2n$ можно разбить на пары так, что если сложить числа в каждой паре и результаты перемножить, получится квадрат натурального числа.

Решение

Пассажир оставил вещи в автоматической камере хранения, а когда пришёл получать вещи, выяснилось, что он забыл номер. Он только помнит, что в номере были числа 23 и 37. Чтобы открыть камеру, нужно правильно набрать пятизначный номер. Каково наименьшее количество номеров нужно перебрать, чтобы наверняка открыть камеру?

Решение

Можно ли разлить 50 л бензина по трём бакам так, чтобы в первом баке было на 10 л больше, чем во втором, а после переливания 26 л из первого бака в третий в третьем баке стало бы столько же бензина, сколько во втором?

Решение

Дано 1993 числа. Известно, что сумма любых четырёх чисел положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?

Решение

Автор: Френкин Б.Р.

Группа из восьми теннисистов раз в год разыгрывала кубок по олимпийской системе (игроки по жребию делятся на 4 пары; выигравшие делятся по жребию на две пары, играющие в полуфинале; их победители играют финальную партию). Через несколько лет оказалось, что каждый с каждым сыграл ровно один раз. Докажите, что
а) каждый побывал в полуфинале более одного раза;
б) каждый побывал в финале.

Решение

Число x таково, что число x + ${\dfrac{1}{x}}$ — целое. Докажите, что при любом натуральном n число xⁿ + ${\frac{1}{x^n}}$ также является целым.

Решение

Автор: Васильев Н.Б.

При каких целых значениях n правильный треугольник со стороной n можно замостить плитками, имеющими форму равнобочной трапеции со сторонами 1, 1, 1, 2?

Решение

Задача 98313

Задача 98327

Задача 98334

Задача 98314

Задача 98333