Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 85]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 53871  (#01.055)

Темы:   [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

На сторонах остроугольного треугольника ABC взяты точки A₁, B₁, C₁ так, что отрезки AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в точке H.
Докажите, что  AH·A₁H = BH·B₁H = CH·C₁H  тогда и только тогда, когда H – точка пересечения высот треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56512  (#01.056)

Темы:   [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

а) Докажите, что высоты AA₁, BB₁ и CC₁ остроугольного треугольника ABC делят углы треугольника A₁B₁C₁ пополам.
б) На сторонах AB, BC и CA остроугольного треугольника ABC взяты точки C₁, A₁ и B₁ соответственно.
Докажите, что если  ∠B₁A₁C = ∠BA₁C₁,  ∠A₁B₁C = ∠AB₁C₁  и  ∠A₁C₁B = ∠AC₁B₁,  то точки A₁, B₁ и C₁ являются основаниями высот треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56513  (#01.057)

Темы:   [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁.
Докажите, что точка, симметричная A₁ относительно прямой AC, лежит на прямой B₁C₁.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56514  (#01.058)

Темы:   [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁. Докажите, что если  A₁B₁ || AB  и  B₁C₁ || BC,  то  A₁C₁ || AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56515  (#01.059)

Темы:   [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Площадь четырехугольника ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Пусть p – полупериметр остроугольного треугольника ABC, q – полупериметр треугольника, образованного основаниями его высот.
Докажите, что  p : q = R : r,  где R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 85]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями