Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]

Задача 58100 (#21.021)

Темы:	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Центральный угол. Длина дуги и длина окружности	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]

Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11

Даны две одинаковые окружности. На каждой из них отмечено по k дуг, угловые величины каждой из которых меньше ${\frac{1}{k^2-k+1}}$ ^.180^o, причем окружности можно совместить так, чтобы отмеченные дуги одной окружности совпали с отмеченными дугами другой. Докажите, что эти окружности можно совместить так, чтобы все отмеченные дуги оказались на неотмеченных местах.

Прислать комментарий Решение

Задача 58101 (#21.022)

Темы:	[	Принцип Дирихле (площадь и объем)	]
	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]
	[	Площади криволинейных фигур	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

В квадрате со стороной 15 расположено 20 попарно непересекающихся квадратиков со стороной 1. Докажите, что в большом квадрате можно разместить круг радиуса 1 так, чтобы он не пересекался ни с одним из квадратиков.

Прислать комментарий Решение

Задача 58102 (#21.023)

Темы:	[	Принцип Дирихле (площадь и объем)	]
	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Теорема Минковского	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Дана бесконечная клетчатая бумага и фигура, площадь которой меньше площади клетки. Докажите, что эту фигуру можно положить на бумагу, не накрыв ни одной вершины клетки.

Прислать комментарий Решение

Задача 58103 (#21.024)

Темы:	[	Принцип Дирихле (площадь и объем)	]
	[	Упаковки	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Назовем крестом фигуру, образованную диагоналями квадрата со стороной 1 (рис.). Докажите, что в круге радиуса 100 можно разместить лишь конечное число непересекающихся крестов.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58104 (#21.025)

Темы:	[	Принцип Дирихле (площадь и объем)	]
	[	Перенос помогает решить задачу	]
	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]

Сложность: 6-
Классы: 8,9,10,11

Попарные расстояния между точками A₁,..., A_n больше 2. Докажите, что любую фигуру, площадь которой меньше $\pi$ , можно сдвинуть на вектор длиной не более 1 так, что она не будет содержать точек A₁,..., A_n.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]