Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите следующие неравенства непосредственно и при помощи неравенства Мюрхеда (задача 61424):
  а)  x⁴y²z + y⁴x²z + y⁴z²x + z⁴y²x + x⁴z²y + z⁴x²y ≥ 2(x³y²z² + x²y³z² + x²y²z³);
  б)  x⁵ + y⁵ + z⁵ ≥ x²y²z + x²yz² + xy²z²;
  в)  x³ + y³ + z³ + t³ ≥ xyz + xyt + xzt + yxt.
Значения переменных считаются положительными.

   Решение

---

На отрезке  [0, 2002]  отмечены его концы и точка с координатой d, где d – взаимно простое с 1001 число. Разрешается отметить середину любого отрезка с концами в отмеченных точках, если её координата целая. Можно ли, повторив несколько раз эту операцию, отметить все целые точки на отрезке?

   Решение

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 100]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61498  (#11.71-72)

Темы:   [ Производящие функции ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Предположим, что у нас имеется 1000000 автобусных билетов с номерами от 000000 до 999999. Будем называть билет счастливым, если сумма первых трёх цифр его номера равна сумме трёх последних. Пусть N – количество счастливых билетов. Докажите равенства:
  а)  (1 + x + ... + x⁹)³(1 + x^–1 + ... + x^–9)³ = x²⁷ + ... + a₁x + N + a₁x + ... + x^–27;
  б)  (1 + x + ... + x⁹)⁶ = 1 + ... + Nx²⁷ + ... + x⁵⁴.
  в) Найдите число счастливых билетов.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61500  (#11.073)

Тема:   [ Формальные степенные ряды ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Назовем экспонентой следующий степенной ряд: Exp(z)=1+z+z²/2!+...+zⁿ/n!+...
Докажите следующие свойства экспоненты:
а) Exp(z) = Exp(z);    б) Exp(( + )z) = Exp(z) ^. Exp(z).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61501  (#11.074)

Темы:   [ Формальные степенные ряды ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Функции a, b и c заданы рядами

   

   

   

Докажите, что   a³ + b³ + c³ – 3abc = (1 + x³)ⁿ.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61502  (#11.075)

Темы:   [ Производящие функции ] [ Числа Фибоначчи ] [ Рациональные функции ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

а) Докажите, что производящая функция последовательности чисел Фибоначчи   F(x) = F₀ + F₁x + F₂x² + ... + F_nxⁿ + ...

может быть записана в виде     где   = ,  = .

б) Пользуясь результатом задачи 61490, получите формулу Бине (см. задачу 60578.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61503  (#11.076)

Темы:   [ Числа Фибоначчи ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Докажите, что бесконечная сумма

сходится к рациональному числу.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 100]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями