Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1276 1277 1278 1279 1280 1281 1282 >> [Всего задач: 6702]

Задача 55138

Темы:	[	Площадь четырехугольника	]
Темы:	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Автор: Старк М.В.

На сторонах AB и CD выпуклого четырёхугольника ABCD выбираются произвольные точки E и F соответственно. Докажите, что середины отрезков AF, BF, CE и DE являются вершинами выпуклого четырёхугольника, причём его площадь не зависит от выбора точек E и F.

Прислать комментарий Решение

Задача 55175

Темы:	[	Произвольные многоугольники	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Середины соседних сторон выпуклого многоугольника соединены отрезками. Докажите, что периметр многоугольника, образованного этими отрезками, не меньше половины периметра исходного многоугольника.

Прислать комментарий Решение

Задача 55214

Темы:	[	Неравенства для площади треугольника	]
Темы:	[	Против большей стороны лежит больший угол	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Все биссектрисы треугольника меньше 1. Докажите, что его площадь меньше ${\frac{1}{\sqrt{3}}}$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 55221

Темы:	[	Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.	]
Темы:	[	Неравенства с площадями	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Дан угол XAY и точка O внутри него. Проведите через точку O прямую, отсекающую от данного угла треугольник наименьшей площади.

Прислать комментарий Решение

Задача 55224

Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты точки соответственно C₁, A₁ и B₁. Известно, что отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в точке M. Докажите, что сумма MA₁ + MB₁ + MC₁ не превосходит наибольшей стороны треугольника ABC.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1276 1277 1278 1279 1280 1281 1282 >> [Всего задач: 6702]