Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1277 1278 1279 1280 1281 1282 1283 >> [Всего задач: 6702]

Задача 55227

Тема:

[

Неравенство треугольника

]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Даны n точек A₁, A₁,..., A_n и окружность радиуса 1. Докажите, что на окружности можно выбрать точку M, для которой MA₁ + MA₂ +...+ MA_n $\geqslant$ n.

Прислать комментарий Решение

Задача 55229

Тема:

[

Неравенство треугольника

]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Докажите, что если стороны треугольника удовлетворяют неравенству a² + b² > 5c², то c — наименьшая сторона.

Прислать комментарий Решение

Задача 55230

Темы:	[	Неравенства с площадями	]
Темы:	[	Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Внутри треугольника ABC взята точка M. Докажите, что

AM^.BC + BM^.AC + CM^.AB $\displaystyle \geqslant$ 4S,

где S — площадь треугольника ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 55245

Темы:	[	Против большей стороны лежит больший угол	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Автор: Туркевич Э.

Внутри остроугольного треугольника ABC выбрана точка M, являющаяся:

а) точкой пересечения медиан;

б) точкой пересечения биссектрис;

в) точкой пересечения высот.

Докажите, что если радиусы окружностей, вписанных в треугольники AMB, BMC, AMC равны, то треугольник ABC — правильный.

Прислать комментарий Решение

Задача 55246

Темы:	[	Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников	]
Темы:	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Автор: Долматов С.

Точка M лежит на стороне AC остроугольного треугольника ABC. Вокруг треугольников ABM и CBM описываются окружности. При каком положении точки M площадь общей части ограниченных ими кругов будет наименьшей?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1277 1278 1279 1280 1281 1282 1283 >> [Всего задач: 6702]