- 7 класс, 1 тур (5 задач)
- 8 класс, 1 тур (5 задач)
- 9 класс, 1 тур (5 задач)
- 10 класс, 1 тур (5 задач)
- 7 класс, 2 тур (5 задач)
- 8 класс, 2 тур (5 задач)
- 9 класс, 2 тур (5 задач)
- 10 класс, 2 тур (5 задач)
Фильтр
Выбрано 8 задач Убрать все задачи
В королевстве N городов, некоторые пары которых соединены непересекающимися дорогами с двусторонним движением (города из такой пары называются соседними). При этом известно, что из каждого города можно доехать до любого другого, но невозможно, выехав из некоторого города и двигаясь по различным дорогам, вернуться в исходный город.
Однажды Король провел такую реформу: каждый из N мэров городов стал снова мэром одного из N городов, но, возможно, не того города, в котором он работал до реформы. Оказалось, что каждые два мэра, работавшие в соседних городах до реформы, оказались в соседних городах и после реформы. Докажите, что либо найдётся город, в котором мэр после реформы не поменялся, либо найдётся пара соседних городов, обменявшихся мэрами.
Докажите, что отрезок, соединяющий середины противоположных сторон параллелограмма, проходит через его центр.
На поверхности куба проведена замкнутая восьмизвенная ломаная, вершины которой совпадают с вершинами куба.
Какое наименьшее количество звеньев этой ломаной может совпасть с рёбрами куба?
Найдите площадь трапеции, если её диагонали равны 17 и 113, а высота равна 15.
С помощью циркуля и линейки опишите около данной окружности ромб с данным углом.
На рёбрах NN1 и KN куба KLMNK1L1M1N1 отмечены точки
P и Q , причём =
,
= 4 . Через точки M1 , P и Q
проведена плоскость. Найдите расстояние от точки K до этой
плоскости, если ребро куба равно 3
Три сферы, радиусы которых равны , 3 и 3,
попарно касаются друг друга. Через центр P первой сферы
проведена плоскость β так, что прямая, содержащая центры
C и D второй и третьей сфер параллельна β и удалена
от этой плоскости на расстояние 1. Найдите угол между проекциями
прямых PC и PD на плоскость β и сравните его
с arccos
.
Пусть AE и CD – биссектрисы равнобедренного треугольника ABC (AB = BC). Докажите, что ∠BED = 2∠AED.
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 39]
Задача 78152 |
|
|
Доказать, что если целое n > 2, то (n!)² > nn.
|
|
Решение |
Задача 78154 |
|
|
Из бумаги вырезан многоугольник. Две точки его границы соединяются отрезком, по которому многоугольник складывается. Доказать, что периметр многоугольника, получающегося после складывания, меньше периметра исходного многоугольника.
|
|
|
Решение |
Задача 78155 |
|
|
Для любых чисел a1 и a2, удовлетворяющих условиям a1 ≥ 0, a2 ≥ 0, a1 + a2 = 1, можно найти такие числа b1 и b2, что b1 ≥ 0, b2 ≥ 0, b1 + b2 = 1,
(5/4 – a1)b1 + 3(5/4 – a2)b2 > 1. Доказать.
|
|
|
Решение |
Задача 78130 |
|
|
Имеется система уравнений
*x + *y + *z = 0,*x + *y + *z = 0,
*x + *y + *z = 0.
Два человека поочерёдно вписывают вместо звёздочек числа.
Доказать, что начинающий всегда может добиться того, чтобы система имела ненулевое решение.
|
|
|
Решение |
Задача 78133 |
|
|
На плоскости даны точки A и B. Построить такой квадрат, чтобы точки A и B лежали на его границе и сумма расстояний от точки A до вершин квадрата была наименьшей.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 39]
