ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 40]      



Задача 98180

Темы:   [ Задачи на проценты и отношения ]
[ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Назаров Ф.

Несколько человек делят наследство. Наследник считается бедным, если ему досталось меньше 99 рублей, богатым, – если ему досталось больше 10000 рублей. Величина наследства и число людей таковы, что при любом способе дележа у богатых окажется не меньше денег, чем у бедных. Докажите, что при любом способе дележа у богатых не меньше чем в 100 раз больше денег, чем у бедных.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98181

Темы:   [ Последовательности (прочее) ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

На доску последовательно записываются натуральные числа. На n-м шаге (когда написаны числа  a1, a2, ..., an–1)  пишется любое число, которое нельзя представить в виде суммы  a1k1 + a2k2 + ... + an–1kn–1,  где ki – целые неотрицательные числа (на a1 никаких ограничений не накладывается). Доказать, что процесс написания чисел не может быть бесконечным.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108060

Темы:   [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ]
[ Трапеции (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Назаров Ф.

а) В треугольнике ABC угол A больше угла B. Докажите, что BC > ½ AB.
б) В выпуклом четырёхугольнике ABCD угол A больше угла C, а угол D больше угла B. Докажите, что BC > ½ AD.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98150

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Периодичность и непериодичность ]
[ Осевая и скользящая симметрии (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

В четырёхугольнике ABCD  AB = BC = CD = 1,  AD не равно 1. Положение точек B и C фиксировано, точки же A и D подвергаются преобразованиям, сохраняющим длины отрезков AB, CD и AD. Новое положение точки A получается из старого зеркальным отражением в отрезке BD, новое положение точки D получается из старого зеркальным отражением в отрезке AC (где A уже новое), затем на втором шагу опять A отражается относительно BD (D уже новое), затем снова преобразуется D, затем аналогично проводится третий шаг, и так далее. Докажите, что на каком-то шагу положение точек совпадает с первоначальным.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98152

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Анджанс А.

Числовая последовательность определяется условиями:    
Докажите, что среди членов этой последовательности бесконечно много полных квадратов.  
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 40]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .