Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 465 466 467 468 469 470 471 >> [Всего задач: 4557]

Задача 57345

Тема:

[

Неравенства с площадями

]

Сложность: 3+
Классы: 9

Площади треугольников ABC и A₁B₁C₁ равны S и S₁, причем треугольник ABC не тупоугольный. Наибольшее из отношений a₁/a, b₁/b и c₁/c равно k. Докажите, что S₁ $\leq$ k²S.

Прислать комментарий Решение

Задача 57475

Тема:

[

Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны

]

Сложность: 3+
Классы: 8

а) Внутри треугольника ABC расположен отрезок MN. Докажите, что длина MN не превосходит наибольшей стороны треугольника.
б) Внутри выпуклого многоугольника расположен отрезок MN. Докажите, что длина MN не превосходит наибольшей стороны или наибольшей диагонали этого многоугольника.

Прислать комментарий Решение

Задача 57626

Тема:

[

Синусы и косинусы углов треугольника

]

Сложность: 3+
Классы: 9

Пусть α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
${\frac{\cos^2(\alpha /2)}{a}}$ + ${\frac{\cos^2(\beta /2)}{b}}$ + ${\frac{\cos^2(\gamma /2)}{c}}$ = ${\frac{p}{4Rr}}$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 57661

Темы:	[	Метод координат на плоскости	]
Темы:	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Диаметры AB и CD окружности S перпендикулярны. Хорда EA пересекает диаметр CD в точке K, хорда EC пересекает диаметр AB в точке L. Докажите, что если CK : KD = 2 : 1, то AL : LB = 3 : 1.

Прислать комментарий Решение

Задача 57685

Темы:	[	Векторы сторон многоугольников	]
Темы:	[	Ромбы. Признаки и свойства	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Сумма четырех единичных векторов равна нулю. Докажите, что их можно разбить на две пары противоположных векторов.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 465 466 467 468 469 470 471 >> [Всего задач: 4557]