Страница:
<< 806 807 808 809
810 811 812 >> [Всего задач: 4557]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Предположим, что цепные дроби 
сходятся. Согласно задаче 61330, они будут сходиться к
корням многочлена x² – px + q = 0. С другой стороны к тем же корням будут сходиться и последовательности, построенные по методу Ньютона (см. задачу
61328):
xn+1 = xn – 
= 
. Докажите, что если x0 совпадает с нулевой подходящей дробью цепной дроби α или β, то числа x1, x2, ... также будут совпадать с подходящими дробями к α или β.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Последовательность чисел
a1,
a2,
a3,...задается условиями
a1 = 1,
an + 1 =
an +
(
n 
0).
Докажите, что
а) эта последовательность неограничена;
б)
a9000 > 30;
в) найдите предел
![$ {\dfrac{a_n}{\sqrt[3]n}}$](show_document.php?id=620533)
.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
а) Пусть q – натуральное число и функция
f(x) = cqx + anxn + ... + a1x + a0 принимает целые значения при x = 0, 1, 2, ..., n + 1.
Докажите, что при любом натуральном x число f(x) также будет целым.
б) Пусть выполняются условия пункта а) и f(x) делится на некоторое целое m ≥ 1 при x = 0, 1, 2, ..., n + 1. Докажите, что f(x) делится на m при всех натуральных x.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Докажите, что при всех натуральных
n
выполняется сравнение
[(1 +
)
n]
n(mod 2).
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Как будет выглядеть формула n-го члена для рекуррентной последовательности k-го порядка, если
a) характеристическое уравнение имеет простые корни
x1,..., xk, отличные от нуля;
б) характеристическое уравнение имеет отличные от нуля корни x1, ..., xm с кратностями α1, ..., αm соответственно?
Определения, связанные с рекуррентными последовательностями, смотри в
справочнике.
Страница:
<< 806 807 808 809
810 811 812 >> [Всего задач: 4557]
Фильтр
