Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 843 844 845 846 847 848 849 >> [Всего задач: 4557]

Задача 56946

Тема:

[

Прямая Симсона

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H; P — точка его описанной окружности. Докажите, что прямая Симсона точки P относительно треугольника ABC делит отрезок PH пополам.

Прислать комментарий Решение

Задача 56947

Тема:

[

Прямая Симсона

]

Сложность: 6
Классы: 9

Четырехугольник ABCD вписан в окружность; l_a — прямая Симсона точки A относительно треугольника BCD, прямые l_b, l_c и l_d определяются аналогично. Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 56952

Тема:

[

Подерный (педальный) треугольник

]

Сложность: 6
Классы: 9

Треугольник ABC вписан в окружность радиуса R с центром O. Докажите, что площадь подерного треугольника точки P относительно треугольника ABC (см. задачу 5.99) равна ${\frac{1}{4}}$ $\left\vert\vphantom{1-\frac{d^2}{R^2}}\right.$ 1 - ${\frac{d^2}{R^2}}$ $\left.\vphantom{1-\frac{d^2}{R^2}}\right\vert$ S_ABC, где d = PO.

Прислать комментарий Решение

Задача 56953

Тема:

[

Подерный (педальный) треугольник

]

Сложность: 6
Классы: 9

Из точки P опущены перпендикуляры PA₁, PB₁ и PC₁ на стороны треугольника ABC. Прямая l_a соединяет середины отрезков PA и B₁C₁. Аналогично определяются прямые l_b и l_c. Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 56954

Темы:	[	Подерный (педальный) треугольник	]
Темы:	[	Изогональное сопряжение	]

Сложность: 6
Классы: 9

а) Точки P₁ и P₂ изогонально сопряжены относительно треугольника ABC. Докажите, что их подерные окружности (описанные окружности подерных треугольников (см. задачу 5.99)) совпадают, причем центром этой окружности является середина отрезка P₁P₂.
б) Докажите, что это утверждение останется верным, если из точек P₁ и P₂ проводить не перпендикуляры к сторонам, а прямые под данным (ориентированным) углом.
в) Докажите, что стороны подерного треугольника точки P₁ перпендикулярны прямым, соединяющим точку P₂ с вершинами треугольника ABC.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 843 844 845 846 847 848 849 >> [Всего задач: 4557]