ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при поддержке
ЦПМ
Все источники >> Книги, журналы
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 846 847 848 849 850 851 852 >> [Всего задач: 4557]      

  с решениями  

Задача 57042

Тема:   [ Четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 6
Классы: 9

Дан выпуклый четырехугольник ABCD;  A1, B1, C1 и D1 — центры описанных окружностей треугольников  BCD, CDA, DAB и ABC. Аналогично для четырехугольника  A1B1C1D1 определяются точки  A2, B2, C2 и D2. Докажите, что четырехугольники ABCD и  A2B2C2D2 подобны, причем коэффициент их подобия равен  |(ctgA + ctgC)(ctgB + ctgD)/4|.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57043

Тема:   [ Четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 6
Классы: 9

Окружности, диаметрами которых служат стороны AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD, касаются сторон CD и AB соответственно. Докажите, что BC| AD.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57054

Тема:   [ Теорема Птолемея ]
Сложность: 6
Классы: 9

Окружности радиуса x и y касаются окружности радиуса R, причем расстояние между точками касания равно a. Вычислите длину следующей общей касательной к первым двум окружностям:
а) внешней, если оба касания внешние или внутренние одновременно;
б) внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57055

 [Обобщенная теорема Птолемея]
Тема:   [ Теорема Птолемея ]
Сложность: 6
Классы: 9,10

Окружности  $ \alpha$,$ \beta$,$ \gamma$ и $ \delta$ касаются данной окружности в вершинах A, B, C и D выпуклого четырехугольника ABCD. Пусть  t$\scriptstyle \alpha$$\scriptstyle \beta$ — длина общей касательной к окружностям $ \alpha$ и $ \beta$ (внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее);  t$\scriptstyle \beta$$\scriptstyle \gamma$, t$\scriptstyle \gamma$$\scriptstyle \delta$ и т. д. определяются аналогично. Докажите, что  t$\scriptstyle \alpha$$\scriptstyle \beta$t$\scriptstyle \gamma$$\scriptstyle \delta$ + t$\scriptstyle \beta$$\scriptstyle \gamma$t$\scriptstyle \delta$$\scriptstyle \alpha$ = t$\scriptstyle \alpha$$\scriptstyle \gamma$t$\scriptstyle \beta$$\scriptstyle \delta$ (обобщенная теорема Птолемея).
Прислать комментарий     Решение

Задача 57063

Тема:   [ Шестиугольники ]
Сложность: 6
Классы: 9

Докажите, что если в выпуклом шестиугольнике каждая из трех диагоналей, соединяющих противоположные вершины, делит площадь пополам, то эти диагонали пересекаются в одной точке.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 846 847 848 849 850 851 852 >> [Всего задач: 4557]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам