Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 850 851 852 853 854 855 856 >> [Всего задач: 4557]

Задача 57492

Тема:

[

Неравенства для остроугольных треугольников

]

Сложность: 6
Классы: 8

На сторонах BC, CA и AB остроугольного треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁. Докажите, что

2(B₁C₁cos $\displaystyle \alpha$ + C₁A₁cos $\displaystyle \beta$ + A₁B₁cos $\displaystyle \gamma$ ) $\displaystyle \geq$ a cos $\displaystyle \alpha$ + b cos $\displaystyle \beta$ + c cos $\displaystyle \gamma$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 57541

[Точка Торричелли]

Темы:	[	Экстремальные точки треугольника	]
	[	Точка Торричелли	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников	]

Сложность: 6
Классы: 8,9,10

Дан треугольник ABC. Найдите внутри его точку O, для которой сумма длин отрезков OA, OB, OC минимальна. (Обратите внимание на тот случай, когда один из углов треугольника больше 120^o.)

Прислать комментарий Решение

Задача 57542

Темы:	[	Экстремальные точки треугольника	]
	[	Выход в пространство	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Уравнение плоскости	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]

Сложность: 6
Классы: 9,10,11

Найдите внутри треугольника ABC точку O, для которой сумма квадратов расстояний от нее до сторон треугольника минимальна.

Прислать комментарий Решение

Задача 57554

Тема:

[

Четырехугольники (экстремальные свойства)

]

Сложность: 6
Классы: 9

Докажите, что среди всех четырехугольников с фиксированными длинами сторон наибольшую площадь имеет вписанный четырехугольник.

Прислать комментарий Решение

Задача 57566

Тема:

[

Экстремальные свойства правильных многоугольников

]

Сложность: 6
Классы: 8,9

а) Докажите, что среди всех n-угольников, описанных около данной окружности, наименьшую площадь имеет правильный n-угольник.
б) Докажите, что среди всех n-угольников, описанных около данной окружности, наименьший периметр имеет правильный n-угольник.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 850 851 852 853 854 855 856 >> [Всего задач: 4557]