соревнования:
-
Московская математическая олимпиада
(2003 задачи)
Турнир городов
(1854 задачи)
Турнир им.Ломоносова
(372 задачи)
Математический праздник
(404 задачи)
Турнир журнала "Квант"
(8 задач)
Белорусские республиканские математические олимпиады
(132 задачи)
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
(915 задач)
Московская устная олимпиада по геометрии
(185 задач)
Московская математическая регата
(557 задач)
Московская устная олимпиада для 6-7 классов
(188 задач)
Окружная олимпиада (Москва)
(416 задач)
Всероссийская олимпиада по математике
(1125 задач)
Международная Математическая Олимпиада
(16 задач)
Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов)
(48 задач)
Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
(150 задач)
Фильтр
Задачи
Страница: << 412 413 414 415 416 417 418 >> [Всего задач: 8157]
Пусть $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$; $D$ – произвольная точка отрезка $AC$; $A_1$, $A_2$ – точки пересечения перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на биссектрису $CI$, с прямыми $BC$ и $AI$ соответственно. Аналогично определяются точки $C_1$, $C_2$. Докажите, что шесть точек $B$, $A_1$, $A_2$, $I$, $C_1$, $C_2$ лежат на одной окружности.
В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ выполнено $\angle ABD=\angle ACD=90^{\circ}$. Окружности с диаметрами $AB$ и $CD$ пересекаются в точках $P$ и $Q$. Докажите, что $2PQ < AD$.
Даны 3 окружности O1, O2, O3, проходящие через одну точку O.
Вторые точки пересечения O1 с O2, O2 с O3 и O3 с O1 обозначим
соответственно через A1, A2 и A3. На O1 берем произвольную точку
B1. Если B1 не совпадает с A1, то проводим через B1 и A1 прямую
до второго пересечения с O2 в точке B2. Если B2 не совпадет с A2,
то проводим через B2 и A2 прямую до второго пересечения с O3 в точке
B3. Если B3 не совпадет с A3, то проводим через B3 и A3 прямую
до второго пересечения с O1 в точке B4. Докажите, что B4 совпадает
с B1.
Пусть a, b, c — длины сторон треугольника; A, B, C — величины
противоположных углов. Докажите, что
Имеется 200 карточек размером 1×2, на каждой из которых написаны числа
+1 и -1. Можно ли так заполнить этими карточками лист
клетчатой бумаги размером
4×100, чтобы произведения чисел в каждом
столбце и каждой строке образовавшейся таблицы были положительны? (Карточка
занимает целиком две соседние клетки.)
Страница: << 412 413 414 415 416 417 418 >> [Всего задач: 8157]
Задача 67523 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67552 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 77902 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 77903 |
|
|
Aa + Bb + Cc
Ab + Ba + Ac + Ca + Bc + Cb
.
|
|
|
Решение |
Задача 78471 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 412 413 414 415 416 417 418 >> [Всего задач: 8157]
