Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 409 410 411 412 413 414 415 >> [Всего задач: 8157]

Задача 66962

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Автор: Кожевников П.А.

Через вершины треугольника $ABC$ проведены параллельные прямые $l_a$, $l_b$, $l_c$. Пусть прямая $a$ симметрична высоте $AH_a$ относительно $l_a$. Аналогично определяем $b$, $c$. Докажите, что $a$, $b$, $c$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 66973

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Автор: Кожевников П.А.

Пусть $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$. На стороне $BC$ нашлись точки $X$ и $Y$ такие, что $AX=BX$ и $AY=CY$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника $AXY$, проходит через центры описанных окружностей треугольников $AOB$ и $AOC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 66977

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Изогональное сопряжение	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]

Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Автор: Швецов Д.В.

В треугольнике $ABC$ $(\angle C=90^{\circ})$, $CH$ – высота; $HA_{1}, HB_{1}$ – биссектрисы углов $\angle CHB, \angle AHC$ соответственно; $E, F$ – середины отрезков $HB_{1}$ и $HA_{1}$ соответственно. Докажите, что прямые $AE$ и $BF$ пересекаются на биссектрисе угла $ACB$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67024

Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]
Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Автор: Бродский Д.Ю.

Точки $M$ и $N$ – середины сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$. Касательная $\ell$ к описанной окружности треугольника $ABC$ в точке $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $K$. Докажите, что описанная окружность треугольника $MKN$ касается $\ell$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67025

Темы:	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Правильные многоугольники	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9,10,11

Автор: Кулыгин А.К.

Среди любых пяти узлов обычной клетчатой бумаги обязательно найдутся два, середина отрезка между которыми – тоже узел клетчатой бумаги. А какое минимальное количество узлов сетки из правильных шестиугольников необходимо взять, чтобы среди них обязательно нашлось два, середина отрезка между которыми – тоже узел этой сетки?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 409 410 411 412 413 414 415 >> [Всего задач: 8157]