соревнования:
-
Московская математическая олимпиада
(2003 задачи)
Турнир городов
(1854 задачи)
Турнир им.Ломоносова
(372 задачи)
Математический праздник
(404 задачи)
Турнир журнала "Квант"
(8 задач)
Белорусские республиканские математические олимпиады
(132 задачи)
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
(915 задач)
Московская устная олимпиада по геометрии
(185 задач)
Московская математическая регата
(557 задач)
Московская устная олимпиада для 6-7 классов
(188 задач)
Окружная олимпиада (Москва)
(416 задач)
Всероссийская олимпиада по математике
(1125 задач)
Международная Математическая Олимпиада
(16 задач)
Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов)
(48 задач)
Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
(150 задач)
Фильтр
Задачи
Страница: << 782 783 784 785 786 787 788 >> [Всего задач: 8157]
Треугольник $ABC$ равносторонний. На сторонах $AB$ и $AC$ выбрали точки $E$ и $F$, а на продолжении стороны $AB$ – точку $K$ так, что $AE=CF=BK$. Точка $P$ – середина $EF$. Докажите, что угол $KPC$ прямой.
Путешественник прибыл на остров, где живут 50 аборигенов, каждый из которых либо рыцарь, либо лжец. Все аборигены встали в круг, и каждый назвал сначала возраст своего соседа слева, а потом возраст соседа справа. Известно, что каждый рыцарь назвал оба числа верно, а каждый лжец какой-то из возрастов (по своему выбору) увеличил на 1, а другой – уменьшил на 1. Всегда ли путешественник по высказываниям аборигенов сможет определить, кто из них рыцарь, а кто лжец?
Существует ли такое натуральное $n$, что для любых вещественных чисел $x$ и $y$ найдутся вещественные числа $a_1, \ldots, a_n$, удовлетворяющие равенствам
$$x = a_1 + \ldots + a_n\quad \text{и} \quad y = \frac{1}{a_1}+ \ldots + \frac{1}{a_n}?$$
Докажите, что точки пересечения средних линий треугольника $ABC$ со сторонами треугольника, вершинами которого являются центры вневписанных окружностей, лежат на одной окружности.
Страница: << 782 783 784 785 786 787 788 >> [Всего задач: 8157]
Задача 66901 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66902 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66903 |
|
|
В центре каждой клетки клетчатого прямоугольника $M$ расположена точечная лампочка, изначально все они погашены. За ход разрешается провести любую прямую, не задевающую лампочек, и зажечь все лампочки по какую-то одну сторону от этой прямой, если все они погашены. Каждым ходом должна зажигаться хотя бы одна лампочка. Требуется зажечь все лампочки, сделав как можно больше ходов. Какое максимальное число ходов удастся сделать, если
а) $M$ – квадрат $21\times21$;
б) $M$ – прямоугольник $20\times21$?
|
|
|
Решение |
Задача 66907 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66919 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 782 783 784 785 786 787 788 >> [Всего задач: 8157]
