Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 783 784 785 786 787 788 789 >> [Всего задач: 8157]

Задача 66922

Темы:	[	Ломаные	]
Темы:	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Иванищук А.В.

Дана замкнутая ломаная $A_1A_2\dots A_n$ и окружность $\omega$, которая касается каждой из прямых $A_1A_2, A_2A_3,\dots, A_nA_1$. Звено ломаной называется хорошим, если оно касается окружности, и плохим в противном случае (т.е. если продолжение этого звена касается окружности). Докажите, что плохих звеньев четное количество.

Прислать комментарий Решение

Задача 66939

Темы:	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Швецов Д.В.

Высоты $AA_1$, $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$; $B_0$ – середина стороны $AC$. Прямая, проходящая через вершину $B$ параллельно $AC$, пересекает прямые $B_0A_1$, $B_0C_1$ в точках $A'$, $C'$ соответственно. Докажите, что прямые $AA'$, $CC'$, $BH$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 66940

Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
Темы:	[	Поворот помогает решить задачу	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Tran Quang Hung

Дан квадрат $ABCD$ с центром $O$. Из точки $P$, лежащей на меньшей дуге $CD$ описанной около квадрата окружности, проведены касательные к его вписанной окружности, пересекающие сторону $CD$ в точках $M$ и $N$. Прямые $PM$ и $PN$ пересекают отрезки $BC$ и $AD$ соответственно в точках $Q$ и $R$. Докажите, что медиана треугольника $OMN$ из вершины $O$ перпендикулярна отрезку $QR$ и равна его половине.

Прислать комментарий Решение

Задача 66948

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Бакаев Е.В.

Есть набор монет радиусами $1, 2, 3,\ldots, 10$ см. Можно положить две из них на стол так, чтобы они касались друг друга, и добавлять монеты по одной так, чтобы очередная касалась хотя бы двух уже лежащих. Новую монету нельзя класть на старую. Можно ли положить несколько монет так, чтобы центры каких-то трёх монет оказались на одной прямой?

Прислать комментарий Решение

Задача 66963

Темы:	[	ГМТ (прочее)	]
	[	Задачи на движение	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Заславский А.А.

Участники тараканьих бегов бегут по окружности в одном направлении, стартовав одновременно из точки $S$. Таракан $A$ бежит вдвое медленнее, чем $B$, и втрое медленнее, чем $C$. Точки $X$, $Y$ на отрезке $SC$ таковы, что $SX=XY=YC$. Прямые $AX$ и $BY$ пересекаются в точке $Z$. Найдите ГМТ пересечения медиан треугольника $ZAB$.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 783 784 785 786 787 788 789 >> [Всего задач: 8157]