Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 996 997 998 999 1000 1001 1002 >> [Всего задач: 8157]

Задача 79475

Темы:	[	Последовательности (прочее)	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Частичные, верхние и нижние пределы	]

Сложность: 4-
Классы: 9

За дядькой Черномором выстроилось чередой бесконечное число богатырей. Доказать, что он может приказать части из них выйти из строя так, чтобы в строю осталось бесконечно много богатырей и все они стояли по росту (не обязательно в порядке убывания роста).

Прислать комментарий Решение

Задача 79479

Темы:	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Сочетания и размещения	]

Сложность: 4-
Классы: 10

Доказать, что в любой группе из 12 человек можно выбрать двоих, а среди оставшихся 10 человек еще пятерых так, чтобы каждый из этих пятерых удовлетворял следующему условию: либо он дружит с обоими выбранными вначале, либо не дружит ни с одним из них.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79480

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 4-
Классы: 10

Доказать, что любое число 2ⁿ, где n = 3, 4, 5, ... можно представить в виде 7x² + y², где x и y – нечётные числа.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79489

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Известно, что в кодовом замке исправны только кнопки с номерами 1, 2, 3, а код этого замка трёхзначен и не содержит других цифр. Написать последовательность цифр наименьшей длины, наверняка открывающую этот замок (замок открывается, как только подряд и в правильном порядке нажаты все три цифры его кода).

Прислать комментарий Решение

Задача 79494

Темы:	[	Неравенства с модулями	]
Темы:	[	Разложение на множители	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Докажите, что система неравенств
|x| > |y – z + t|,
|y| > |x – z + t|,
|z| > |x – y + t|,
|t| > |x – y + z|
не имеет решений.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 996 997 998 999 1000 1001 1002 >> [Всего задач: 8157]