Страница:
<< 1008 1009 1010 1011
1012 1013 1014 >> [Всего задач: 8157]
В королевстве восемь городов. Король хочет построить такую систему дорог, чтобы
из каждого города можно было попасть в любой другой, минуя не более одного
промежуточного города, и чтобы из каждого города выходило не более k дорог.
При каких k это возможно?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
На доске выписаны числа 1, ½, ⅓, ..., 1/100. Выбираем из написанных на доске два произвольных числа a и b, стираем их и пишем на доску число
a + b + ab. Такую операцию проделываем 99 раз, пока не останется одно число. Какое это число? Найдите его и докажите, что оно не зависит от последовательности выбора чисел.
Дан выпуклый восьмиугольник ABCDEFGH, у которого все внутренние углы равны между собой, а стороны равны через одну – AB = CD = EF = GH,
BC = DE = FG = HA (будем называть такой восьмиугольник полуправильным). Проводим диагонали AD, BE, CF, DG, EH, FA, GB и HC. Среди частей, на которые эти диагонали разбивают внутреннюю область восьмиугольника, рассмотрим ту, которая содержит его центр. Если эта часть – восьмиугольник, он снова является полуправильным (это очевидно); в этом случае в нём проводим аналогичные диагонали, и т. д. Если на каком-то шагу центральная фигура не является восьмиугольником, процесс заканчивается. Докажите, что если этот процесс бесконечный, то исходный восьмиугольник – правильный.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Можно ли разрезать плоскость на многоугольники, каждый из которых переходит
в себя при повороте на 360°/7 вокруг некоторой точки и все стороны которых больше 1 см?
Можно ли в таблицу 9×9 расставить такие натуральные числа, что одновременно выполняются следующие условия:
1) произведения чисел, стоящих в одной строке, одинаковы для всех строк;
2) произведения чисел, стоящих в одном столбце, одинаковы для всех столбцов;
3) среди чисел нет равных;
4) все числа не больше 1991?
Страница:
<< 1008 1009 1010 1011
1012 1013 1014 >> [Всего задач: 8157]
Фильтр
