Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1058 1059 1060 1061 1062 1063 1064 >> [Всего задач: 8157]

Задача 109787

Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]
Темы:	[	Тождественные преобразования	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Агаханов Н.Х.

Числовое множество M, содержащее 2003 различных числа, таково, что для каждых двух различных элементов a, b из M число
рационально. Докажите, что для любого a из M число рационально.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109789

Темы:	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]
Темы:	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Дольников В.Л.

На прямой расположены 2k-1 белый и 2k-1 черный отрезок. Известно, что любой белый отрезок пересекается хотя бы с k черными, а любой черный – хотя бы с k белыми. Докажите, что найдутся черный отрезок, пересекающийся со всеми белыми, и белый отрезок, пересекающийся со всеми черными.

Прислать комментарий Решение

Задача 109804

Темы:	[	Последовательности (прочее)	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Уравнения в целых числах	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Протопопов А.

Последовательность неотрицательных рациональных чисел a₁, a₂, a₃, ... удовлетворяет соотношению a_m + a_n = a_mn при любых натуральных m, n.
Докажите, что не все её члены различны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109812

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Иррациональные неравенства	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Богданов И.И.

Существуют ли такие попарно различные натуральные числа m, n, p, q, что m + n = p + q и

Прислать комментарий

Решение

Задача 109831

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Подлипский О.К.

Леша поставил в клетки таблицы 22×22 натуральные числа от 1 до 22².
Верно ли, что Олег может выбрать такие две клетки, соседние по стороне или вершине, что сумма чисел, стоящих в этих клетках, делится на 4?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1058 1059 1060 1061 1062 1063 1064 >> [Всего задач: 8157]