Страница: << 1055 1056 1057 1058 1059 1060 1061 >> [Всего задач: 8157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109657

Темы:   [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Уравнения в целых числах ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Доказательство от противного ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Существуют ли такие действительные числа b и c, что каждое из уравнений  x² + bx + c = 0  и  2x² + (b + 1)x + c + 1 = 0  имеет по два целых корня?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109661

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC, CA, AB в точках A₁, B₁, C₁ соответственно. Точки A₂, B₂, C₂ – середины дуг BAC, CBA, ACB описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что прямые A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109664

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Касающиеся окружности ] [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Индукция в геометрии ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Внутри параболы  y = x²  расположены несовпадающие окружности ω₁, ω₂, ω₃, ... так, что при каждом n > 1 окружность ω_n касается ветвей параболы и внешним образом окружности ω_n–1 (см. рис.). Найдите радиус окружности σ₁₉₉₈, если известно, что диаметр ω₁ равен 1 и она касается параболы в её вершине.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109668

Темы:   [ Теорема Виета ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Кубические многочлены ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Прямые, параллельные оси Ox, пересекают график функции  y = ax³ + bx² + cx + d:  первая – в точках A, D и E, вторая – в точках B, C и F (см. рис.). Докажите, что длина проекции дуги CD на ось Ox равна сумме длин проекций дуг AB и EF.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109687

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Четыре натуральных числа таковы, что квадрат суммы любых двух из них делится на произведение двух оставшихся.
Докажите, что по крайней мере три из этих чисел равны между собой.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1055 1056 1057 1058 1059 1060 1061 >> [Всего задач: 8157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями