Страница:
<< 1363 1364 1365 1366
1367 1368 1369 >> [Всего задач: 8157]
Пусть X – такая точка внутри треугольника ABC, что XA·BC = XB·AC = XC·AB; I1, I2, I3 – центры вписанных окружностей треугольников XBC, XCA и XAB соответственно. Докажите, что прямые AI1, BI2 и CI3 пересекаются в одной точке.
Даны две окружности, одна из которых лежит внутри другой. Из произвольной точки C внешней окружности проведены касательные к внутренней, вторично пересекающие внешнюю в точках A и B. Найдите геометрическое место центров вписанных окружностей треугольников ABC.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
|
На каждой стороне треугольника ABC отмечены две различные точки. Известно, что это основания высот и биссектрис.
а) Пользуясь только линейкой без делений, определите, где высоты, а где биссектрисы.
б) Решите пункт а), проведя только три прямых.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
На стороне AB треугольника ABC взята произвольная точка C1. Точки A1, B1 на лучах BC и AC таковы, что ∠AC1B1 = ∠BC1A1 = ∠ACB. Прямые AA1 и BB1 пересекаются в точке C2. Докажите, что все прямые C1C2 проходят через одну точку.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Одиннадцати мудрецам завязывают глаза и надевают каждому на голову колпак одного из 1000 цветов. После этого им глаза развязывают, и каждый видит все колпаки, кроме своего. Затем одновременно каждый показывает остальным одну из двух карточек – белую или чёрную. После этого все должны одновременно назвать цвет своих колпаков. Удастся ли это? Мудрецы могут заранее договориться о своих действиях (до того, как им завязали глаза); мудрецам известно, каких 1000 цветов могут быть колпаки.
Страница:
<< 1363 1364 1365 1366
1367 1368 1369 >> [Всего задач: 8157]
Фильтр
