Страница: << 1404 1405 1406 1407 1408 1409 1410 >> [Всего задач: 8157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108222

Темы:   [ Вспомогательная окружность ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Дан треугольник ABC . На прямой AC отмечена точка B1 так, что AB=AB1 , при этом B1 и C находятся по одну сторону от A . Через точки C , B1 и основание биссектрисы угла A треугольника ABC проводится окружность , вторично пересекающая окружность, описанную около треугольника ABC , в точке Q . Докажите, что касательная, проведённая к в точке Q , параллельна AC .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108229

Темы:   [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Доказательство от противного ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки M и N соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, причём  AO = CO.  Обязательно ли треугольник ABC равнобедренный, если   а)  AM = CN;   б)  BM = BN?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108243

Темы:   [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся сторон AB, AC и BC в точках C₁, B₁ и A₁ соответственно. Пусть K – точка на окружности, диаметрально противоположная точке C₁, D – точка пересечения прямых B₁C₁ и A₁K. Докажите, что  CD = CB₁.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108249

Темы:   [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны AC в точке K. Вторая окружность, также с центром O, пересекает все стороны треугольника ABC. Пусть E и F – её точки пересечения со сторонами соответственно AB и BC, ближайшие к вершине B; B₁ и B₂ – точки её пересечения со стороной AC, B₁ – ближе к A. Докажите, что точки B, K и точка P пересечения отрезков B₂E и B₁F лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109021

Темы:   [ Пространственные многоугольники ] [ Касательные к сферам ] [ Теоремы Чевы и Менелая в пространстве ] [ Проектирование помогает решить задачу ] [ Перпендикуляр и наклонная ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Около сферы описан пространственный четырёхугольник. Доказать, что точки касания лежат в одной плоскости.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1404 1405 1406 1407 1408 1409 1410 >> [Всего задач: 8157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями