соревнования:
-
Московская математическая олимпиада
(2003 задачи)
Турнир городов
(1854 задачи)
Турнир им.Ломоносова
(372 задачи)
Математический праздник
(404 задачи)
Турнир журнала "Квант"
(8 задач)
Белорусские республиканские математические олимпиады
(132 задачи)
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
(915 задач)
Московская устная олимпиада по геометрии
(185 задач)
Московская математическая регата
(557 задач)
Московская устная олимпиада для 6-7 классов
(188 задач)
Окружная олимпиада (Москва)
(416 задач)
Всероссийская олимпиада по математике
(1125 задач)
Международная Математическая Олимпиада
(16 задач)
Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов)
(48 задач)
Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
(150 задач)
Фильтр
Задачи
Страница: << 1461 1462 1463 1464 1465 1466 1467 >> [Всего задач: 8157]
Если через точку O , расположенную внутри треугольной пирамиды
ABCD , провести отрезки AA1,BB1,CC1,DD1 , где A1 лежит на
грани, противоположной вершине A , B1 – на грани,
противоположной вершине B , и т.д., то имеет место равенство
A1O/A1A+B1O/B1B+C1O/C1C+D1O/D1D=1.
Назовем усреднением последовательности ak действительных чисел последовательность
a'k с общим членом a'k=
.
Рассмотрим последовательности: ak , a'k – ее усреднение, a''k –
усреднение последовательности a'k , и т.д. Если все эти последовательности состоят из целых
чисел, то будем говорить, что последовательность ak – хорошая. Докажите, что если
последовательность xk – хорошая, то последовательность xk2 – тоже хорошая.
Плоскость разбита двумя семействами параллельных прямых на единичные квадратики. Назовем каемкой
квадрата n ×n, состоящего из квадратиков разбиения, объединение тех квадратиков, которые
хотя бы одной из своих сторон примыкают изнутри к его границе. Докажите, что существует ровно один
способ покрытия квадрата 100×100 , состоящего из квадратиков разбиения, неперекрывающимися
каемками пятидесяти квадратов.
(Каемки могут и не содержаться в квадрате 100× 100 .)
Докажите, что при всех $x$, $0 < x < \pi/3$, справедливо неравенство
$\sin 2x + \cos x > 1$.
В городе Цветочном n площадей и m улиц (m ≥ n + 1). Каждая улица соединяет две площади и не проходит через другие площади. По существующей в городе традиции улица может называться либо Синей, либо Красной. Ежегодно в городе происходит переименование: выбирается площадь и переименовываются все выходящие из неё улицы. Докажите, что можно назвать улицы так, что переименованиями нельзя добиться одинаковых названий у всех улиц города.
Страница: << 1461 1462 1463 1464 1465 1466 1467 >> [Всего задач: 8157]
Задача 109164 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 109520 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 109572 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 109573 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 109587 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 1461 1462 1463 1464 1465 1466 1467 >> [Всего задач: 8157]
