Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1464 1465 1466 1467 1468 1469 1470 >> [Всего задач: 8157]

Задача 110791

Темы:	[	Гомотетичные окружности	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Протасов В.Ю.

Дана окружность, точка A на ней и точка M внутри нее. Рассматриваются хорды BC , проходящие через M . Докажите, что окружности, проходящие через середины сторон всех треугольников ABC , касаются некоторой фиксированной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 111039

Темы:	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]
Темы:	[	Сочетания и размещения	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

Дано 101-элементное подмножество A множества S = {1, 2, ..., 1000000}.
Докажите, что для некоторых t₁, ..., t₁₀₀ из S множества A_j = {x + t_j | x ∈ A; j = 1, ..., 100} попарно не пересекаются.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111266

Темы:	[	Симметричные неравенства для углов треугольника	]
	[	Неравенства для углов треугольника	]
	[	Применение тригонометрических формул (геометрия)	]
	[	Тригонометрические неравенства	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями	]
	[	Неравенства с медианами	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Докажите, что если α , β и γ – углы остроугольного треугольника, то sinα + sinβ + sinγ > 2 .

Прислать комментарий Решение

Задача 111336

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Сочетания и размещения	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Горбачев А.Н.

Назовём усложнением числа приписывание к нему одной цифры в начало, в конец или между любыми двумя его цифрами. Существует ли натуральное число, из которого невозможно получить полный квадрат с помощью ста усложнений?

Прислать комментарий

Решение

Задача 111713

Темы:	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Против большей стороны лежит больший угол	]
	[	Сумма внутренних и внешних углов многоугольника	]
	[	Разные задачи на разрезания	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

а) Докажите, что при n>4 любой выпуклый n -угольник можно разрезать на n тупоугольных треугольников. б) Докажите, что при любом n существует выпуклый n -угольник, который нельзя разрезать меньше, чем на n тупоугольных треугольников. в) На какое наименьшее число тупоугольных треугольников можно разрезать прямоугольник?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1464 1465 1466 1467 1468 1469 1470 >> [Всего задач: 8157]